Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа . Обозначается: .

В случае вещественного  абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа , также иногда называемый абсолютной величиной^[1]. Он определяется по формуле:

Основные свойства

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина означает расстояние между точками и и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Вещественные числа

• Область определения: .
• Область значений: .
• Функция чётная.
• Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке функция претерпевает излом.

Комплексные числа

• Область определения: вся комплексная плоскость.
• Область значений: .
• Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.

Алгебраические свойства

Для любых имеют место следующие соотношения:

• (см. Функция sgn(x)).
• .

Как для вещественных, так и для комплексных имеют место соотношения:

• , причём тогда и только тогда, когда .
• .
• .
• (неравенство треугольника).
• .
• .
• .
• , если существует.

История

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (только сравнениями и присваиванием), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа.

Обобщение

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую . Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также

• Модуль комплексного числа
• Модуль вектора
• Норма вектора
• Нормирование
• Нормированное векторное пространство

Примечания