Биссектриса (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла^[1]. Биссектриса угла есть геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон угла.

В треугольнике под биссектрисой угла может также пониматься отрезок биссектрисы этого угла до её пересечения с противолежащей стороной треугольника.

Свойства

• Теорема о биссектрисе: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон
• Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — инцентре — центре вписанной в этот треугольник окружности.
• Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
• Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.
• Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.
• Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса).
• Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно,^[2] причём даже при наличии трисектора.^[3]

Длина биссектрис в треугольнике

Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.

где:

•  — длина биссектрисы, проведённой к стороне ,
•  — стороны треугольника против вершин соответственно,
•  — полупериметр треугольника,
•  — длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ,
•  — внутренние углы треугольника при вершинах соответственно,
•  — высота треугольника, опущенная на сторону .

Мнемоническое правило

Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам^[4].

Облегчает запоминание формулировки. Чаще всего употребляется детьми.

Примечания