18-10-2023
Гипотеза Пуанкаре́ является одной из наиболее известных задач топологии. Она даёт достаточное условие того, что пространство является трёхмерной сферой с точностью до деформации.
Содержание |
В исходной форме гипотеза Пуанкаре утверждает:
|
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. |
Обобщённая гипотеза Пуанкаре утверждает:
|
Для любого натурального числа n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. |
Исходная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при n = 3.
Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть, вложенное ), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию. Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме. Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией».
При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие можно представить как набор сферических пространственных форм , соединённых друг с другом трубками . Подсчёт фундаментальной группы показывает, что диффеоморфно связанной сумме набора пространственных форм и более того все тривиальны. Таким образом, является связной суммой набора сфер, то есть, сферой.
В 1900 году Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контр-пример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.
Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для n ⩾ 5 получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (англ.) (для n ⩾ 7, его доказательство было распространено на случаи n = 5 и 6 Зееманом (англ.)). Доказательство значительно более трудного случая n = 4 было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.
Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено только в 2002 году Григорием Перельманом. Впоследствии доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных.[1] Доказательство использует поток Риччи с хирургией и во многом следует плану, намеченному Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.
Гипотеза Пуанкаре.
