Закон излучения планка цена, закон излучения планка на, закон излучения планка вывод формулы

Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения абсолютно чёрного тела, которое было получено Максом Планком. Для плотности энергии излучения :

Формула Планка была получена после того, как стало ясно, что формула Рэлея — Джинса удовлетворительно описывает излучение только в области длинных волн. Для вывода формулы Планк в 1900 году сделал предположение о том, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых связана с частотой излучения выражением:

$\varepsilon = \hbar \omega.$

Коэффициент пропорциональности впоследствии назвали постоянной Планка, = 1.054 · 10⁻²⁷ эрг·с.

Вывод для абсолютно чёрного тела

Излучение абсолютно чёрного тела

Выражение для средней энергии колебания с частотой ω дается выражением:

$\overline{\varepsilon} = \frac{\hbar \omega} {\mathrm{exp}( \hbar \omega / kT) -1}, \qquad\qquad (1)$

где — постоянная Планка, — постоянная Больцмана.

Количество стоячих волн в трёхмерном пространстве равно:

$\mathrm{d}n_{\omega}= \frac{\omega^2 \mathrm{d} \omega}{\pi^2 c^3} \qquad\qquad (2)$

Переход к формулам Рэлея—Джинса.

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до . При малых частотах (больших длинах волн), когда можно разложить экспоненту по . В результате получим, что , тогда (3) и (4) переходят в формулу Рэлея—Джинса.

$u(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{\pi^2 c^3}$ и

$f(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{4 \pi^2 c^2}$

Переход к закону Стефана — Больцмана.

Энергетическая светимость равна площади, ограниченной графиком функции f(ω,Т)

Для энергетической светимости следует записать интеграл:

$R= \int_0^{\infty} f(\omega,T)\mathrm{d} \omega = \int_0^{\infty} \frac{\hbar \omega^3}{4 \pi^2 c^2} \cdot \frac{\mathrm{d} \omega }{\mathrm{exp}( \hbar \omega / kT) -1}$

Введём переменную , тогда , , получим

$R= \frac{\hbar}{4 \pi^2 c^2} \cdot \left( \frac{kT}{\hbar} \right)^4 \int_0^{\infty} \frac{x^3 \mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{e}^x -1}.$

Полученный интеграл имеет точное значение: , подставив его получим известный закон Стефана — Больцмана:

$R= \frac{\pi^2 k^4}{60 c^2 \hbar^3}T^4 = \sigma T^4$

Подстановка численных значений констант даёт значение для Вт/(м ), что хорошо согласуется с экспериментом.

Переход к закону смещения Вина

Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум.

Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение (5) по и приравнять нулю (поиск экстремума):

$\frac{ \mathrm{d} \varphi(\lambda, T)}{\mathrm{d} \lambda} = \frac{ 4 \pi^2 \hbar c^2 \left\{ \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) - 5 \left[ \mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) -1 \right] \right\} } {\lambda^6 \left[ \mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) -1 \right]^2} =0$ .

Значение , при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Обозначим , получится уравнение:

$~xe^x-5(e^x-1)=0$ .

Решение такого уравнения даёт x=4.965. Следовательно , отсюда немедленно получается:

$T \lambda_m = \frac{2 \pi \hbar c}{4.965 k} = b$ .

Численная подстановка констант даёт значение для b=0,0028999 К·м, совпадающее с экспериментом, а также удобную приближенную формулу мкм·К. Так, солнечная поверхность имеет максимум интенсивности в зеленой области (0,5 мкм), что соответствует температуре около 6000 К.

Литература

М. Планк. Об одном улучшении закона излучения Вина. Избранные научные труды. Русский пер. из сборника под ред. А.П. Виноградова. Стр.249 (http://dbserv.ihep.su/~elan/planckdisk/src/pl1900/rus.pdf )
М. Планк. К теории распределения энергии излучения нормального спектра. Избранные научные труды. Русский пер. из сборника под ред. А.П. Виноградова. Стр.251 (http://dbserv.ihep.su/~elan/planckdisk/src/pl1900b/rus.pdf )
http://www.vias.org/simulations/simusoft_blackbody.html

Это заготовка статьи по физике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Закон излучения планка цена, закон излучения планка на, закон излучения планка вывод формулы.

Stamp-i-k.ru

Печати, штампы

Рекомендуем