31-01-2024
Логика высказываний (или пропозициональная логика от англ. propositional logic) — это формальная теория, основным объектом которой служит понятие логического высказывания. С точки зрения выразительности, её можно охарактеризовать как классическую логику нулевого порядка. Логика высказываний является простейшей логикой, максимально близкой к человеческой логике неформальных рассуждений и известна ещё со времён античности.
Содержание |
Базовыми понятиями логики высказываний являются пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание, — и (пропозициональная) формула, определяемая индуктивно следующим образом:
Знаки и (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и импликация) называются пропозициональными связками. Подформулой называется часть формулы, сама являющаяся формулой. Собственной подформулой называется подформула, не совпадающая со всей формулой.
Теперь, зная буквы-элементарные высказывания, мы никогда не ошибёмся, определяя, является ли формулой запись, содержащая эти буквы, скобки и символы связок, то есть правильно ли построено сложное высказывание. В процессе подобного опознавания мы выделяем части формулы, то есть более короткие формулы, из которых на каждом этапе строится более длинная формула с применением одной связки. Самыми простыми частями формулы являются, разумеется, элементарные высказывания. Значит, логический анализ формулы сводится к выделению всех её частей.
Пусть элементарными высказываниями являются А, В, С. Записи
¬ A BC и (B)(BA→C)
c формальной точки зрения не являются формулами, так как мы натыкаемся при их разборе на нарушение правил построения формул. (В первом случае отсутствует логическая связка между B и C и отсутствуют скобки вокруг ¬A. Во втором случае формула нулевого уровня В включена в скобки). А записи
(¬ A)(BC) и B((BA)→C)
вполне соответствуют требованиям построения формулы. В процессе анализа формулы (¬ A)(BC) выделяются следующие её части:
( ¬A ) ( BC ) | Связующее действие ¬A B C | Разделённые части (формулы первого уровня) ¬ | Связующее действие A B C | Разделённые части (формулы нулевого уровня) | Все разделённые части являются элементарными высказываниями; разбор закончен.
В этом примере все элементарные высказывания были выделены на втором шаге исследования дерева. Но это совпадение; если бы вместо формулы первого уровня (¬A) была использована формула нулевого уровня А, то левая ветвь была бы короче правой.
Построенная нами конструкция отдалённо напоминает дерево, растущее вверх ногами. «Корень» его — исходная формула, роль «веток» играют логические связки. Там, где имеется разветвление, стоят части формулы. А на концах веток растут «листья» — элементарные высказывания.
Подобные конструкции часто используются в математике и в программировании, они так и называются «деревьями».
Поскольку в построенных по определению формулах оказывается слишком много скобок, иногда и не обязательных для однозначного понимания формулы, математики приняли соглашения о скобках, по которым некоторые из скобок можно опускать. Записи с опущенными скобками восстанавливаются так:
Когда говорят о длине формулы, имеют в виду длину подразумеваемой (восстанавливаемой) формулы, а не сокращённой записи.
Например: запись означает формулу , а её длина равна 12.
Оценкой пропозициональных переменных называется функция из множества всех пропозициональных переменных в множество {0, 1} (т.е. множество истинностных значений). Основной задачей логики высказываний является установление истинностного значения формулы, если дана оценка (т.е. определены истинностные значения входящих в неё переменных). Истинностное значение формулы в таком случае определяется индуктивно (с шагами, которые использовались при построении формулы) с использованием таблиц истинности связок.
Оценка отрицания задаётся таблицей:
|
|
|
|
Значение двуместных логических связок (импликация), (дизъюнкция) и (конъюнкция) определяются так:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула является тождественно истинной, если она истинна при любых значениях входящих в неё переменных. Вот несколько широко известных примеров тождественно истинных формул логики высказываний:
1) ;
2) ;
;
Законы поглощения:
1) ;
2) ;
1) ;
2) .
Одним из возможных вариантов (Гильбертовской) аксиоматизации логики высказываний является следующая система аксиом:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
вместе с единственным правилом:
Теорема корректности исчисления высказываний утверждает, что все перечисленные выше аксиомы являются тавтологиями, а с помощью правила modus ponens из истинных высказываний можно получить только истинные. Доказательство этой теоремы тривиально и сводится к непосредственной проверке. Куда более интересен тот факт, что все остальные тавтологии можно получить из аксиом с помощью правила вывода — это так называемая теорема полноты логики высказываний.
Это заготовка статьи по логике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Форма вероятностного знания истинностное значение которого неопределённо, научное допущение или предположение истинностное значение которого неопределенно, истинностное значение логической формулы, истинностное значение переведи.
Оскар фон Миллер, Крыжов, Сергей Борисович, Печниковые, Партия арабского социалистического возрождения.