Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида

где — свободная переменная, , , — коэффициенты, причём

Выражение называют квадратным трёхчленом.

Корень такого уравнения — это значение переменной , обращающее квадратный трёхчлен в ноль, то есть значение, обращающее квадратное уроавнение в тождество.

Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент называют первым или старшим, коэффициент называют вторым или коэффициентом при , называется свободным членом этого уравнения.

Приведённым называют такое квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент :

Неполным квадратным уравнением называется такое, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел

Общая формула вычисления корней:

,

где — коэффициенты;

Подкоренное выражение называется дискриминантом

• при корней два;
• при корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях);
• при корней на множестве действительных чисел нет.

Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Для уравнений вида ,
то есть при чётном
где
вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном .

Геометрический смысл

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют точки пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент положительный (при положительном , при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Получение формулы для решения

Формулу можно получить следующим образом:

Умножаем каждую часть на и прибавляем :

,

где

Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел

Уравнение с действительными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта

• при корней два, и они вычисляются по формуле

         (1)

• при корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

• при вещественных(действительных) корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше ее вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два простых корня).

Корни приведённого квадратного уравнения

Квадратное уравнение вида в котором старший коэффициент равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

Корни приведённого квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Если уравнение записать в виде , то формула будет ещё проще:

Мнемонические правила:

• Из «Радионяни»:

«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Cводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное^[1] q.

• Из «Радионяни» (другой вариант):

p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.

Теорема Виета

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна коэффициенту , взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену :

В общем случае, то есть для неприведённого квадратного уравнения :

Мнемоническое правило

Познакомили поэта
С теоремою Виета,
Оба корня он сложил —
Минус p он получил,
А корней произведение
Даёт q из уравнения.

Разложение квадратного уравнения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Алгебраические

Уравнение вида является уравнением, сводящимся к квадратному.

В общем случае оно решается заменой c последующим решением квадратного уравнения .

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:

и

Если , то уравнение принимает вид:

Такое уравнение называется биквадратным^[2].

Дифференциальные

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

подстановкой сводится к характеристическому квадратному уравнению:

Если решения этого уравнения и не равны друг другу, то общее решение имеет вид:

, где и  — произвольные постоянные.

Для комплексных корней можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:

Если решения характеристического уравнения совпадают , общее решение записывается в виде:

Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. QuadraticEquation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Решение квадратных уравнений онлайн [1], [2], [3], [4],