Компьютер для операций с математическими функциями (в отличие от обычного компьютера) оперирует с функциями на аппаратном уровне (то есть без программирования этих операций). ^{[1] [2] [3]}

История

Вычислительная машина для операций с функциями была предложена и разработана Карцевым в 1967 году ^[1]. В число операций этой вычислительной машины входили сложение, вычитание и умножение функций, сравнение функций, аналогичные операции над функцией и числом, отыскание максимума функций, вычисление неопределенного интеграла, вычисление определенного интеграла от производной двух функций, сдвиг функции по абсциссе и т. д. По архитектуре эта вычислительная машина являлась (пользуясь современной терминологией) векторным процессором. В ней использовался тот факт, что многие из этих операций могут быть истолкованы как известные операции над векторами: сложение и вычитание функций — как сложение и вычитание векторов, вычисление определенного интеграла от производной двух функций — как вычисление скалярного произведения двух векторов, сдвиг функций по абсциссе — как поворот вектора относительно осей координат и т. д.^[1] В 1966 году Хмельник предложил метод кодирования функций ^[2] , то есть представления функции единым (для функции в целом) позиционным кодом. При этом указанные операции с функциями выполняются как уникальные машинные операции с такими кодами на единственном арифметическом устройстве ^[3]

Позиционные коды функций одного аргумента ^[2][3]

Основная идея

Позиционный код целого числа представляет собой запись цифр этого числа в некоторой позиционной системе счисления, имеющую вид

Такой код можно назвать линейным. В отличие от него позиционный код функции одного аргумента имеет вид

то есть является плоским и треугольным, поскольку цифры в нем образуют треугольник.
Указанному позиционному коду целого числа соответствует сумма вида

,.

где  — основание данной системы счисления. Указанному позиционному коду функции одного аргумента соответствует двойная сумма вида

,

где  — целое положительное число, количество значений цифры ,  — определенная функция аргумента .
Сложение позиционных кодов чисел связано с передачей переноса в старший разряд по схеме

.

Сложение позиционных кодов функций одного аргумента также связано с передачей переноса по схеме

.

При этом один и тот же перенос передается одновременно в два старших разряда.

R-ые треугольные коды

Треугольный код называется R-ым (и обозначается как ), если числа принимают значения из множества

где и .

Например, треугольный код является троичным , если , и — четверичным , если .
Для R-ых треугольных кодов справедливы следующие равенства:

,

где a — любое число. Существует любого целого действительного числа. В частности, . Также существует любой функции вида . В частности, .

Одноразрядное сложение

в R-ых треугольных кодах состоит в том, что

• в данном -разряде определяется сумма слагаемых разрядов и двух переносов , поступивших в данный разряд слева, то есть

,

• эта сумма представляется в виде , где ,
• записывается в -разряд суммарного кода, а перенос из данного разряда передается в -разряд и -разряд.

Эта процедура описывается (как и при одноразрядном сложении чисел) таблицей одноразрядного сложения, где должны присутствовать все значения слагаемых и и все значения переносов, возникающих при разложении суммы . Такая таблица может быть синтезирована при
Ниже приведена таблица одноразрядного сложения при :

Одноразрядное вычитание

в R-ых треугольных кодах отличается от одноразрядного сложения только тем, что в данном -разряде величина определяется по формуле

.

Одноразрядное деление на параметр R

в R-ых треугольных кодах основано на использовании соотношения

,

откуда следует, что деление каждого разряда вызывает переносы в два нижних разряда. Следовательно, разрядный результат в этой операции является суммой частного от деления данного разряда на R и переносов из двух верхних разрядов. Таким образом, при делении на параметр R

• в данном -разряде определяется сумма

,

• эта сумма представляется в виде , где ,
• записывается в -разряд результирующего кода, а перенос из данного разряда передается в -разряд и -разряд.

Эта процедура описывается таблицей одноразрядного деления на параметр R, где должны присутствовать все значения слагаемых и все значения переносов, возникающих при разложении суммы . Такая таблица может быть синтезирована при
Ниже приведена таблица одноразрядного деления на параметр R при :

Сложение и вычитание

R-ых треугольных кодов состоит (как и в позиционных кодах чисел) в последовательно выполняемых одноразрядных операциях. При этом одноразрядные операции во всех разрядах каждого столбца выполняются одновременно.

Умножение

R-ых треугольных кодов. Умножение некоторого кода на -разряд другого кода заключается в -сдвиге кода , то есть сдвиге его на k столбцов влево и на m строк вверх. Умножение кодов и заключается в последовательных -сдвигах кода и сложениях сдвинутого кода с частичным произведением (как и в позиционных кодах чисел).

Дифференцирование

R-ых треугольных кодов. Производная функции , определенной выше,

.

Поэтому дифференцирование треугольных кодов функции заключается в определении треугольного кода частной производной и умножении его на известный треугольный код производной . Определение треугольного кода частной производной основано на соотношении

.

Cпособ дифференцирования заключается в организации переносов из mk-разряда в (m+1,k)-разряд и в (m-1,k)-разряд, а их суммирование в данном разряде производится аналогично одноразрядному сложению.

Кодирование и декодирование

R-ых треугольных кодов. Функция, представленная рядом вида

,

с целыми коэффициентами , может быть представлена R-ым треугольным кодом, так как эти коэффициенты и функции имеют R-ые треугольные коды (о чем сказано в начале раздела). С другой стороны, R-ый треугольный код может быть представлен указанным рядом, так как любое слагаемое в позиционном разложении функции (соответствующем этому коду) может быть представлено таким же рядом.

Укорочение

R-ых треугольных кодов. Так называется операция уменьшения числа ненулевых столбцов. Необходимость укорочения возникает при возникновении переносов за разрядную сетку. Укорочение заключается в делении на параметр R. При этом все коэффициенты представимого кодом ряда уменьшаются в R раз, а дробные части этих коэффициентов отбрасываются. Исчезает также старший член ряда. Такое сокращение допустимо, если известно, что ряды функций являются сходящимися. Укорочение состоит в последовательно выполняемых одноразрядных операциях деления на параметр R. При этом одноразрядные операции во всех разрядах каждой строки выполняются одновременно, а переносы из младшей строки отбрасываются.

Масштабный коэффициент

R-ый треугольный код сопровождается масштабным коэффициентом M, аналогичным порядку в числе с плавающей точкой. Коэффициент M позволяет представить все коэффиценты кодируемого ряда в виде целых чисел. Коэффициент M умножается на R при укорочении кода. При сложении коэффициенты M выравниваются, для чего необходимо укорачивать один из слагаемых кодов. При умножении коэффициенты M также умножаются.

Позиционные коды функций многих аргументов ^[4]

Позиционный код функции двух аргументов изображен на рис. 1. Ему соответствует тройная сумма вида

,

где  — целое положительное число, количество значений цифры , а  — определенные функции аргументов соответственно. На рис. 1 узлы соответствуют цифрам , а в кружках показаны значения индексов соответствующей цифры. Позиционный код функции двух аргументов называется пирамидальным. Позиционный код называется R-ым (и обозначается как ), если числа принимают значения из множества . При сложении кодов перенос распространяется в четыре разряда и поэтому .

Позиционному коду функции нескольких аргументов соответствует сумма вида

,

где  — целое положительное число, количество значений цифры , а  — определенные функции аргументов . Позиционный код функции нескольких аргументов называется гиперпирамидальным. На рис. 2 показан для примера позиционный гиперпирамидальный код функции трех аргументов. В нем узлы соответствуют цифрам , а в кружках показаны значения индексов соответствующей цифры. Позиционный гиперпирамидальный код называется R-ым (и обозначается как ), если числа принимают значения из множества . При сложении кодов перенос распространяется в a-мерный куб, содержащий разрядов и поэтому .

Примечания