Линейное дифференциальное уравнение

где дифференциальный оператор L линеен, y — неизвестная функция , а правая часть — функция от той же переменной, что и y.

Линейный оператор L можно рассматривать в форме

$~L_n(y) \equiv \frac{d^n y}{dt^n} + A_1(t)\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + \cdots + A_{n-1}(t)\frac{dy}{dt} + A_n(t)y$

Содержание

Линейное дифференциальное уравнение порядка n с переменными коэффициентами имеет общий вид

Уравнение Коши — Эйлера, используемое в инженерии, является простым примером линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами

Пример

Решение уравнения

с начальными условиями

Имеем решение в общем виде

Решение неопределённого интеграла

Можно упростить до

где 4/3, после подстановки начальных условий в решение.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами имеет общий вид

Уравнения в такой форме могут быть решены путём умножения на интегрирующий множитель

получим

что, после интегрирования обеих частей, дает нам

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

(в частности, с постоянными коэффициентами) имеет вид

где является константой интегрирования.

Возьмём дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

Это уравнение имеет особое значение для систем первого порядка, таким как RC-схемы и масс-демпфер^{[неизвестный термин]} системы.

В этом случае, p(x) = b, r(x) = 1.

Следовательно, решение будет:

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.