Магнитная гидродинамика

Механика сплошных сред

Классическая механика
Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса

Теория упругости
Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость

Гидродинамика
Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение

Основные уравнения
Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение диффузии · Закон Гука

Известные учёные
Ньютон · Гук Бернулли · Эйлер · Коши · Стокс · Навье

См. также: Портал:Физика

Магнитная гидродинамика — физическая дисциплина, возникшая на пересечении гидродинамики и электродинамики сплошной среды. Предметом её изучения является динамика проводящей жидкости (газа) в магнитном поле. Примерами таких сред являются: различного рода плазма, жидкие металлы, солёная вода.

Пионером исследований в области теории магнитогидродинамики признан Ханнес Альфвен, удостоившийся за эти работы Нобелевской премии в 1970 году. Первой экспериментальной работой в этой области стало исследование Гартманом в 1937 году сопротивления течения ртути в трубке при воздействии поперечного магнитного поля.

Содержание

1 Уравнения магнитной гидродинамики
- 1.1 Вывод уравнений
2 Приложения
3 См. также
4 Литература
5 Ссылки

Уравнения магнитной гидродинамики

Полная система уравнений нерелятивистской магнитной гидродинамики проводящей жидкости имеет вид:

$\begin{cases} \rho\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho (\vec v, \nabla) \vec v =- \nabla p - \frac{1}{4\pi}[\vec H \operatorname{rot} \vec H] + \eta \Delta \vec v + \left(\frac 13 \eta + \zeta\right)\nabla \operatorname{div}\vec v \\ p=p(\rho) \\ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \rho \vec v=0 \\ \frac{\partial \vec H}{\partial t} = - \frac {1}{\sigma} \frac{c^2}{4\pi} \operatorname{rot} \left[\nabla \times \vec H\right] + \operatorname{rot} \left[\vec v \times \vec H\right] \\ \nabla \cdot \vec H = 0 \end{cases}$

Здесь — давление в среде, — плотность, — проводимость жидкости, — сдвиговая вязкость, — вторая вязкость (объемная вязкость) а — поле скоростей её элементов. — напряжённость магнитного поля.

Эта система содержит 8 уравнений и позволяет определить 8 неизвестных при наличии заданных начальных и граничных условий.

Если воспользоваться следующими приближениями (бездиссипативный предел):

то система уравнений МГД запишется в более простом виде:

$\begin{cases} \rho\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho (\vec v, \nabla) \vec v =- \nabla p - \frac{1}{4\pi}[\vec H \operatorname{rot} \vec H] \\ p=p(\rho) \\ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \rho \vec v=0 \\ \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \operatorname{rot} \left[\vec v \times \vec H\right] \\ \nabla \cdot \vec H = 0 \end{cases}$

Вывод уравнений

Вывод уравнений МГД из уравнений Максвелла и гидродинамики

Запишем систему уравнений Максвелла в системе СГС.

$\begin{cases} \nabla \times \vec E = - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} \\ \nabla \times \vec H = \frac 1c \frac{\partial \vec E}{\partial t} + \frac {4 \pi}{c} \vec j\\ \nabla \cdot \vec H = 0\\ \nabla \cdot \vec E = 0 \end{cases}$

Будем исходить из следующих предположений:

Магнитная проницаемость
Нет электрических зарядов
Закон Ома имеет вид:

Ограничемся нерелятивистским случаем (), т.е

Обоснование нерелятивистского приближения.

Покажем, что эквивалентно

Оценим это выражение:

L — характерная длина

— характерное время

Это приводит нас к следующем соотношению:

Т.е. характерная скорость в системе должна быть много меньше скорости света.

Уравнения Максвелла в этом приближении запишутся следующим образом:

$\begin{cases} \nabla \times \vec E = - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} \\ \nabla \times \vec H = \frac {4 \pi}{c} \vec j\\ \end{cases}$

Выразив из закона Ома и подставим его в первое уравнение:

Подставим в это уравнение ток из второго уравнения Максвелла и получим:

В пределе идеальной проводящей жидкости получаем:

Для связи с гидродинамикой в уравнение Навье — Стокса добавляется член, отвечающий за силу Ампера действующую на токи со стороны магнитного поля (ток выражается из второго уравнения Максвелла через напряженность магнитного поля):

Приложения

Принципы магнитной гидродинамики используются для дистанционного контроля и управления поведением жидких металлов в промышленности, в частности:

См. также

Литература

Денисов В. И. «Введение в электродинамику материальных сред: Учебное пособие». — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. — ISBN 5-211-01371-9
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Электродинамика сплошных сред. — Издание 4-е, стереотипное.. — М.: Физматлит, 2003. — 656 с. — («Теоретическая физика», том VIII). — ISBN 5-9221-0123-4

Ссылки

Магнитная гидродинамика в энциклопедии Кругосвет.
Сайт журнала Института физики университета Латвии «Magnetohydrodynamics» (бывший журнал «Магнитная гидродинамика»).

Stamp-i-k.ru

Печати, штампы

Рекомендуем