16-07-2023
Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей.[1] В англоязычной литературе и в математическом сообществе Санкт-Петербурга обозначается через (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской — (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от рус. Математическое ожидание). В статистике часто используют обозначение .
Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина . То есть, по определению, — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается или .
то прямо из определения интеграла Лебега следует, что
то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности
как значение первой производной в единице: . Если математическое ожидание бесконечно, то и мы будем писать
Теперь возьмём производящую функцию последовательности «хвостов» распределения
Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией свойством: при . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:
Пусть — случайный вектор. Тогда по определению
то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.
Пусть — борелевская функция, такая что случайная величина имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:
если имеет дискретное распределение;
если имеет абсолютно непрерывное распределение.
Если распределение случайной величины общего вида, то
В специальном случае, когда , Математическое ожидание называется -тым моментом случайной величины.
равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.
то есть математическое ожидание не определено.
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Математическое ожидание.