Метод последовательных приближений

Численное решение уравнений и их систем состоит в приближённом определении корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точный метод решения неизвестен или трудоёмок.

Содержание

1 Постановка задачи
2 Численные методы решения уравнений
- 2.1 Сжимающее отображение
  - 2.1.1 Общий алгоритм последовательных приближений
  - 2.1.2 Применительно к СЛАУ
- 2.2 Метод Ньютона (метод касательных)
  - 2.2.1 Одномерный случай
  - 2.2.2 Многомерный случай
3 Литература
4 Ссылки
5 См. также

Постановка задачи

Рассмотрим методы численного решения уравнений и систем уравнений:

или

$\left\{ \begin{array}{lcr} f_1(x_1, x_2, \ldots, x_n) & =& 0 \\ \ldots & & \\ f_n(x_1, x_2, \ldots, x_n) & =& 0 \end{array}\right.$

Численное решение задачи можно проводить как непосредственно (используя одноимённые методы), так и с применением оптимизационных методов, приведя задачу к соответствующему виду. Последним посвящена статья Градиентные методы.

Численные методы решения уравнений

Покажем, как можно решить изначальную систему уравнений, не прибегая к оптимизационным методам. В случае, если наша система представляет собой СЛАУ, целесообразно прибегнуть к таким методам, как метод Гаусса или метод Ричардсона. Однако мы всё же будем исходить из предположения, что вид функции нам неизвестен, и воспользуемся одним из итерационных методов численного решения. Среди большого разнообразия таковых выберем один из наиболее известных — метод Ньютона. Этот метод в свою очередь основывается на принципе сжимающего отображения. Поэтому сначала будет изложена суть последнего.

Сжимающее отображение

Определим терминологию:

Говорят, что функция осуществляет сжимающее отображение на , если

Тогда справедлива следующая основная теорема:

Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений).
Если — сжимающее отображение на , то:

Уравнение имеет единственный корень в ;
Итерационная последовательность сходится к этому корню;
Для очередного члена справедливо .

Из последнего пункта теоремы вытекает, что скорость сходимости любого метода на основе сжимающих отображений не менее линейной.

Поясним смысл параметра для случая одной переменной. Согласно теореме Лагранжа имеем:

Отсюда следует, что . Таким образом, для сходимости метода достаточно, чтобы

Общий алгоритм последовательных приближений

Уравнение преобразуется к уравнению с тем же корнем вида , где — сжимающее отображение.
Задаётся начальное приближение и точность
Вычисляется очередная итерация
- Если , то и возврат к шагу 3.
- Иначе и остановка.

Применительно к общему случаю операторных уравнений этот метод называется методом последовательных приближений или методом простой итерации. Однако уравнение можно преобразовывать к сжимающему отображению , имеющему тот же корень, разными способами. Это порождает ряд частных методов, имеющих как линейную, так и более высокие скорости сходимости.

Применительно к СЛАУ

Рассмотрим систему:

$\left\{ \begin{array}{ccc} a_{11} x_1 + \ldots + a_{1n} x_n & = & b_1 \\ \ldots & & \\ a_{n1} x_1 + \ldots + a_{nn} x_n & = & b_n \end{array}\right.$

Для неё итерационное вычисление будет выглядеть так:

$\left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}\right)^{i+1} = \left( \begin{array}{cccc} a_{11}+1 & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}+1 & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}+1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}\right)^{i}-\left(\begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n \end{array}\right)$

Метод будет сходится с линейной скоростью, если

Двойные вертикальные черты означают некоторую норму матрицы.

Решение уравнения cos(x)=x по методу простой итерации, очередная итерация: x_n+1=cos x_n, начальное приближение: x₁ = -1

Решение уравнения f(x)=0 по методу Ньютона, начальное приближение: x₁=a.

Метод Ньютона (метод касательных)

Основная статья: Метод Ньютона

Одномерный случай

Оптимизация преобразования исходного уравнения в сжимающее отображение позволяет получить метод с квадратичной скоростью сходимости.

Чтобы отображение было наиболее эффективно, необходимо, чтобы в точке очередной итерации выполнялось . Будем искать решение данного уравнения в виде , тогда:

Воспользуемся тем, что , и получим окончательную формулу для :

С учётом этого сжимающая функция примет вид:

Тогда алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:

Многомерный случай

Обобщим полученный результат на многомерный случай.

Выбирая некоторое начальное приближение , находят последовательные приближения путем решения систем уравнений:

где .

Литература

Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998.
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы. — 8-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
Волков Е. А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003.
Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергоатомиздат, 1972.
Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.

Ссылки

Численное решение уравнений онлайн

Stamp-i-k.ru

Печати, штампы

Рекомендуем