09-08-2023
Многосеточный (МС, англ. multigrid) метод — метод решения системы линейных алгебраических уравнений, основанный на использовании последовательности уменьшающихся сеток и операторов перехода от одной сетки к другой. Сетки строятся на основе больших значений в матрице системы, что позволяет использовать этот метод при решении эллиптических уравнений даже на нерегулярных сетках.
Предположим, что необходимо решить систему вида
где — матрица с элементами . Для удобства сопоставим индексы с узлами сетки, таким образом представляет собой значение в узле . Множество узлов сетки обозначим как . Основная идея многосеточных методов состоит в том, что ошибка , которая не может быть устранена методами релаксации, должна быть убрана с помощью коррекции из решения на грубой сетке.
Используя верхний индекс в качестве номера уровня введем следующие обозначения:
Все эти компоненты многосеточного метода строятся на первом этапе, известном как этап построения
Как только этап построения завершен, может быть определен рекурсивный цикл построения решения:
Вышеприведенный алгоритм описывает — цикл.
Выбор последовательности сеток и оператора интерполяции являются наиболее важными элементами этапа построения и во многом определяют качество многосеточного метода. Критерием качества являются две измеряемые величины:
Сложность оператора рассчитывается как отношение количества ненулевых элементов во всех матрицах к количеству ненулевых элементов в матрице первого уровня .
Многосеточный метод.