Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества.

Определения

• Множество является подмножеством множества , если любой элемент, принадлежащий , также принадлежит . Пишут: или . Таким образом,

• Множество в таком случае называется надмно́жеством множества , и этот факт часто записывают: или

Множество называется подмножеством множества если все элементы являются также элементами Любое множество является своим подмножеством: Если при этом , то называется собственным подмножеством По определению полагают, что пустое множество является подмножеством любого множества: .

Множество всех подмножеств множества обозначается или , так как оно соответствует множеству отображений из в Иногда его называют множеством-степенью (англ. power set) для . Мощность множества-степени, по теореме Кантора, всегда больше, чем у исходного множества. В категории множеств  — это контравариантный функтор, отображающий функцию в при этом отображение ставит в соответствие каждому подмножеству его полный прообраз в

Примеры:

• Подмножествами множества являются множества
• Подмножествами множества являются множества
• Пусть тогда

Собственное подмножество

Из определения прямо следует, что пустое множество обязано быть подмножеством любого множества. Также, очевидно, любое множество является своим подмножеством:

.

Если , и , , то называется со́бственным или нетривиа́льным подмножеством.

Свойства

Отношение подмножества обладает целым рядом свойств^[1].

• Отношение подмножества рефлексивно:

• Отношение подмножества антисимметрично:

• Отношение подмножества транзитивно:

• Пустое множество является подмножеством любого другого:

• Таким образом отношение подмножества является отношением частичного порядка на булеане  — семействе всех подмножеств любого объемлющего множества
• Для любых двух множеств и следующие утверждения эквивалентны:

Подмножества конечных множеств

Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у -элементного множества существует подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а, значит, общее количество подмножеств будет -кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества -элементного множества из элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом . Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать способами, второй способом, и так далее, и, наконец, -й элемент можно выбрать способом. Таким образом мы получим последовательность из элементов, и ровно таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдется таких подмножеств.

Пример

• Пусть

Тогда

Примечания