07-10-2023
В математике пифагоровой тройкой называется кортеж из трёх натуральных чисел удовлетворяющих соотношению Пифагора:
При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами.
Содержание |
Поскольку уравнение однородно, при домножении , и на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть, являются взаимно простыми числами.
Нетрудно видеть, что в примитивной тройке числа x и y имеют разную чётность, причем чётное делится на 4, а z — всегда нечётно.
Любая примитивная пифагорова тройка , где x — нечётно, а y — чётно, однозначно представляется в виде для некоторых натуральных взаимно простых чисел разной чётности, которые можно вычислить по формулам:
Наоборот, любая такая пара чисел задаёт примитивную пифагорову тройку [1]
Треугольник, длины сторон которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть, все его стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами
Всякая пифагорова тройка задаёт точку с рациональными координатами на единичной окружности
Неизвестно, существуют ли две различные пифагоровы тройки, имеющие одинаковое произведение.[2]
Пифагоровы тройки образуют группу по сложению.
Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные):
Возможные значения z в пифагоровых тройках образуют последовательность:
Основываясь на свойствах чисел Фибоначчи, можно составить из них, например, такие пифагоровы тройки:
Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.
Пифагорова тройка.