Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества.

§Определение

Множество является подмножеством множества , если любой элемент, принадлежащий , также принадлежит . Формальное определение:

Множество называется надмно́жеством множества , если  — подмножество .

Существует два символических обозначения для подмножеств:

К сожалению, обе системы обозначений используют символ в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.

То, что называется надмножеством , часто записывают .

Множество всех подмножеств множества обозначается и называется булеаном.

§Собственное подмножество

Любое множество является своим подмножеством. Если мы хотим исключить из рассмотрения, мы пользуемся понятием со́бственного подмножества, которое определяется так:

Множество является собственным подмножеством множества , если и .

Пустое множество является подмножеством любого множества. Если мы вдобавок хотим исключить из рассмотрения пустое множество, мы пользуемся понятием нетривиа́льного подмножества, которое определяется так:

Множество является нетривиальным подмножеством множества , если является собственным подмножеством и .

§Примеры

• Множества являются подмножествами множества
• Множества являются подмножествами множества
• Пусть , тогда .
• Пусть . Тогда .

§Свойства

Отношение подмножества обладает целым рядом свойств^[1].

• Отношение подмножества является отношением частичного порядка:
  • Отношение подмножества рефлексивно:

  • Отношение подмножества антисимметрично:

  • Отношение подмножества транзитивно:

• Пустое множество является подмножеством любого другого, поэтому оно является наименьшим множеством относительно отношения подмножества:

• Для любых двух множеств и следующие утверждения эквивалентны:

§Подмножества конечных множеств

Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у -элементного множества существует подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет -кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества -элементного множества из элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом . Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать способами, второй способом, и так далее, и, наконец, -й элемент можно выбрать способом. Таким образом мы получим последовательность из элементов, и ровно таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдется таких подмножеств.

§Примечания