У этого термина существуют и другие значения, см.
Поле.
По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями (аддитивная операция, или сложение) и (мультипликативная операция, или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей , все ненулевые элементы которого обратимы.
Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями (сложение) и (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.
Связанные определения
- Характеристика поля — наименьшее положительное целое число такое, что сумма копий единицы равна нулю:
Если такого числа не существует, то характеристика равна по определению.
- Подполем поля называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в . (Подполем поля называется поле относительно операций умножения и сложения, заданных в , несущим множеством которого является подмножество несущего множества )
- Расширение поля — поле, содержащее данное поле в качестве подполя.
- Поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.
- Простое поле — поле, не содержащее собственных подполей.
Свойства
- Характеристика поля всегда или простое число.
- Поле характеристики содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел .
- Поле простой характеристики содержит подполе, изоморфное полю вычетов .
- Количество элементов в конечном поле всегда равно — степени простого числа.
- При этом для любого числа вида существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из элементов, обычно обозначаемое .
- Любой ненулевой гомоморфизм полей является вложением.
- В поле нет делителей нуля.
Примеры множеств, являющихся полями
- — рациональные числа,
- — вещественные числа,
- — комплексные числа,
- — поле вычетов по модулю , где — простое число.
- — конечное поле из элементов, где — простое число, — натуральное.
- — поле рациональных функций вида , где и — многочлены над некоторым полем (при этом , а и не имеют общих делителей, кроме констант).
- Числа вида , , относительно обычных операций сложения и умножения.
См.также
Ссылки