Постоянная Апери

Иррациональные числа γ — ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δ_s — α — e — π — δ

Постоя́нная Апери́ (англ. Apéry's constant) в математике — это вещественное число, обозначаемое ζ(3) (иногда ζ₃), которое равно сумме обратных к кубам целых положительных чисел и, следовательно, является частным значением дзета-функции Римана:

Численное значение постоянной Апери выражается бесконечной непериодической десятичной дробью^[1]

1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 … (последовательность A002117 в OEIS)

Она была названа в честь математика греческо-французского происхождения Роже Апери (Roger Apéry, 1916—1994), который в 1978 году доказал, что ζ(3) является иррациональным числом — результат, известный как теорема Апери (англ.)^[2]^[3]. Неизвестно, является ли постоянная Апери трансцендентным числом.

Эта постоянная давно привлекала интерес математиков — ещё в 1735 году Леонард Эйлер^[4]^[5] вычислил её с точностью до 16 значащих цифр (1,202056903159594).

Приложения в математике и физике

Двухпетлевая диаграмма Фейнмана, результат для которой содержит ζ(3)

В математике постоянная Апери встречается во многих приложениях. В частности, величина, обратная ζ(3) даёт вероятность того, что любые три случайным образом выбранных положительных целых числа будут взаимно просты — в том смысле, что при вероятность того, что три положительных целых числа, меньших, чем (и выбранных случайным образом) будут взаимно простыми, стремится к 1/ζ(3).

Постоянная Апери естественным образом возникает в ряде проблем физики, включая поправки второго (и выше) порядков к аномальному магнитному моменту электрона в квантовой электродинамике. Например, результат для двухпетлевой диаграммы Фейнмана, изображённой на рисунке, даёт 6ζ(3) (здесь предполагается 4-мерное интегрирование по импульсам внутренних петель, содержащих только безмассовые виртуальные частицы, а также соответствующая нормировка, включая степень импульса внешней частицы k). Другой пример — двумерная модель Дебая.

Связь с другими функциями

Постоянная Апери связана с частным значением полигамма-функции второго порядка

и появляется в разложении гамма-фунции в ряд Тейлора

\Gamma(1+\varepsilon) = e^{-\gamma\varepsilon} \left[ 1 + \tfrac{1}{12}\pi^2 \varepsilon^2 - \tfrac{1}{3} \zeta(3) \varepsilon^3 +O(\varepsilon^4) \right] \; ,

где в виде факторизуются вклады, содержащие постоянную Эйлера—Маскерони .

Постоянная Апери также связана со значением трилогарифма Li₃(z) (частный случай полилогарифма Li_n(z)) при ,

Представления в виде рядов

Некоторые другие ряды, члены которых обратны к кубам натуральных чисел, также выражаются через постоянную Апери:

\zeta(3) = \tfrac{4}{3} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^3} = \tfrac{4}{3} \left( 1-\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} -\frac{1}{4^3} + \cdots \right) \; ,

\zeta(3) = \tfrac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3} = \tfrac{8}{7} \left( 1+\frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} +\frac{1}{7^3} + \cdots \right) \; .

Другие известные результаты — сумма ряда, содержащего гармонические числа

а также двукратная сумма

Для доказательства иррациональности ζ(3) Роже Апери^[2] пользовался представлением

\zeta(3) = \tfrac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(k!)^2}{k^3 (2k)!} = \tfrac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^3 \binom{2k}{k}} \; ,

где — биномиальный коэффициент.

В 1773 году Леонард Эйлер^[6] привёл представление в виде ряда^[7] (которое впоследствии было несколько раз заново открыто в других работах)

\zeta(3)=\tfrac{1}{7} \pi^2 \left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right] \; ,

в котором значения дзета-функции Римана чётных аргументов могут быть представлены как , где — числа Бернулли.

Рамануджан даёт несколько представлений в виде рядов, которые замечательны тем, что они обеспечивают несколько новых значащих цифр на каждой итерации. Они включают в себя (см. главу 14, уравнения 25.1 и 25.3 книги^[8])

\zeta(3)=\tfrac{7}{180}\pi^3 -2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}

Симон Плуффе (Simon Plouffe) получил ряды другого типа^[9]

\zeta(3)= 14 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 \sinh(\pi k)} -\tfrac{11}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)} -\tfrac{7}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} +1)} \; ,

а также аналогичные представления для других постоянных ζ(2n+1).

Были также получены другие представления в виде рядов, включая

\zeta(3) = \tfrac{1}{4} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(56k^2-32k+5)(k-1)!^3}{(2k-1)^2(3k)!}

\zeta(3)=\tfrac{8}{7}-\tfrac{8}{7}\sum_{k=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^k\,2^{-5 + 12\,k}\,k\, \left( -3 + 9\,k + 148\,k^2 - 432\,k^3 - 2688\,k^4 + 7168\,k^5 \right) \, {k!}^3\,{\left( -1 + 2\,k \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,k \right) }^3\, \left( 3\,k \right) !\,{\left( 1 + 4\,k \right) !}^3}

Некоторые из этих представлений были использованы для вычисления постоянной Апери со многими миллионами значащих цифр.

Дэвид Бродхёрст (D. J. Broadhurst) получил представление в виде ряда^[10], которое даёт возможность вычислить произвольный бит постоянной Апери.

Представления в виде интегралов

Существует также большое количество самых различных интегральных представлений для постоянной Апери, начиная от тривиальных формул типа

$\zeta(3) =\frac{1}{2}\int\limits_0^\infty \! \frac{x^2}{e^x-1}\, dx$

или

$\zeta(3) =\frac{2}{3}\int\limits_0^\infty \! \frac{x^2}{e^x+1}\, dx$

следующих из простейших интегральных определений дзета-функции Римана,^[11] до достаточно сложных, таких как

$\zeta(3)=\pi\!\!\int\limits_{0}^{\infty} \! \frac{\cos(2\,\mathrm{arctg}\,x)}{\left(x^2+1\right)\big[\mathrm{ch}\frac{1}{2}\pi x\big]^2}\, dx\qquad$ (Иоган Йенсен^[12]),
$\zeta(3) =-\frac{1}{2}\int\limits_0^1 \!\!\int\limits_0^1 \frac{\ln(xy)}{\,1-xy\,}\, dx \, dy\qquad$ (F. Beukers^[13]),
$\zeta(3) =\,\frac{8\pi^2}{7}\!\!\int\limits_0^1 \! \frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\ln\ln\frac{1}{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx \,=\, \frac{8\pi^2}{7}\!\!\int\limits_1^\infty \!\frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\ln\ln{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx\qquad$ (Iaroslav Blagouchine^[14]).

Также, связь постоянной Апери с производными гамма-функции:

$\zeta(3) = -\frac{1}{2}\Gamma'''(1)+\frac{3}{2}\Gamma'(1)\Gamma''(1)- [\Gamma'(1)]^3 = -\frac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1)\qquad$ (упр. 30.10.1 в^[15])

позволяет вывести большое количество интегральных представлений через известные интегральные формулы для гамма-функции.

Вычисление десятичных цифр

Число известных значащих цифр постоянной Апери значительно выросло за последние десятилетия благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов^[16].

**Число известных значащих цифр постоянной Апери ζ(3)**
Дата	Количество значащих цифр	Авторы вычисления
1735	16	Леонард Эйлер^[4]^[5]
1887	32	Томас Иоаннес Стилтьес
1996	520 000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997	1 000 000	Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1997, май	10 536 006	Patrick Demichel
1998, февраль	14 000 074	Sebastian Wedeniwski
1998, март	32 000 213	Sebastian Wedeniwski
1998, июль	64 000 091	Sebastian Wedeniwski
1998, декабрь	128 000 026	Sebastian Wedeniwski^[17]
2001, сентябрь	200 001 000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2002, февраль	600 001 000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003, февраль	1 000 000 000	Patrick Demichel & Xavier Gourdon
2006, апрель	10 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo^[18]
2009, январь	15 510 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan^[19]
2009, март	31 026 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan^[19]
2010, сентябрь	100 000 001 000	Alexander J. Yee^[20]

Другие постоянные вида ζ(2n+1)

Существует много исследований, посвящённых другим значениям дзета-функции Римана в нечётных точках ζ(2n+1) при n>1. В частности, в работах Вадима Зудилина (Wadim Zudilin) и Т. Ривола (Tanguy Rivoal) показано, что иррациональными является бесконечное множество чисел ζ(2n+1)^[21], а также что по крайней мере одно из чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), или ζ(11) является иррациональным^[22].

Примечания

«Zeta(3) or Apery constant to 2000 places», <http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap97.html>. Проверено 8 февраля 2011.

↑ ¹ ² Roger Apéry (1979), "«Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)»", Astérisque Т. 61: 11–13

«A proof that Euler missed... Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report»", The Mathematical Intelligencer Т. 1: 195–203, 10.1007/BF03028234, <http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf>. Проверено 8 февраля 2011.

↑ «Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13 октября 1735 г.)»", Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae Т. 8: 173–204, <http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E047.pdf>. Проверено 9 февраля 2011.

↑ «Finding the sum of any series from a given general term»", arXiv:0806.4096, <http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0806/0806.4096v1.pdf>. Проверено 9 февраля 2011.

«Exercitationes analyticae»", Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae Т. 17: 173–204, <http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf>. Проверено 8 февраля 2011.

«Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions»", Taiwanese Journal of Mathematics Т. 4 (4): 569–598, 1027-5487, <http://www.math.nthu.edu.tw/~tjm/abstract/0012/tjm0012_3.pdf>. Проверено 8 февраля 2011.

«Ramanujan's notebooks, Part II», Springer-Verlag, http://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-96794-3>. Проверено 8 февраля 2011.

«Identities inspired from Ramanujan Notebooks II», <http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html>. Проверено 8 февраля 2011.

«Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)», arXiv (math.CA/9803067), <http://arxiv.org/abs/math.CA/9803067>. Проверено 8 февраля 2011.

↑ Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления (7-ое изд.), с. 769. Наука, Москва, 1969.

↑ Johan Ludwig William Valdemar Jensen. Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver. L'Intermédiaire des mathématiciens, tome II, pp. 346-347, 1895.

↑ F. Beukers A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3). Bull. London Math. Soc. 11, pp. 268-272, 1979.

Iaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, 2013.

↑ М. А. Евграфов и др. Сборник задач по теории аналитических функций. Наука, Москва, 1969.

«Constants and Records of Computation», numbers.computation.free.fr, <http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html>. Проверено 8 февраля 2011.

↑ Sebastian Wedeniwski (2001), «The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places», Project Gutenberg

«The Apéry's constant: ζ(3)», <http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html>. Проверено 8 февраля 2011.

↑ «Large Computations», <http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html>. Проверено 8 февраля 2011.

«Zeta(3) - Apery's Constant», <http://www.numberworld.org/digits/Zeta%283%29/>. Проверено 8 февраля 2011.

↑ T. Rivoal (2000), "«La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs»", Comptes Rendus Acad. Sci. Paris Sér. I Math. Т. 331: 267–270

Одно из чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) иррационально // УМН. — 2001. — В. 4(340). — Т. 56. — С. 149–150.

Ссылки

Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин I.2.4. Диофантовы приближения и иррациональность ζ(3) // Введение в теорию чисел. — ВИНИТИ, 1990. — Т. 49. — С. 83—89. — 341 с. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).

V. Ramaswami (1934), "«Notes on Riemann's ζ-function»", J. London Math. Soc. Т. 9: 165–169, 10.1112/jlms/s1-9.3.165, <http://jlms.oxfordjournals.org/content/s1-9/3/165.full.pdf>

Weisstein, Eric W. Apéry's constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Числа с собственными именами

Вещественные Пи • Золотое сечение • Серебряное сечение • e (число Эйлера) • Постоянная Эйлера — Маскерони • Постоянные Фейгенбаума • Постоянная Гельфонда • Константа Бруна • Постоянная Каталана • Постоянная Апери

Натуральные Чёртова дюжина • Число зверя • Число Рамануджана — Харди • Число Грэма • Число Скьюза • Число Мозера

Степени десяти Мириада • Гугол • Асанкхейя • Гуголплекс

Степени тысячи Тысяча • Миллион • Миллиард • Биллион • Триллион • Квадриллион • … • Центиллион

Степени двенадцати Дюжина • Гросс • Масса

Stamp-i-k.ru

Печати, штампы

Рекомендуем