21-10-2023
Сапог Шварца — семейство приближений кругового цилиндра с помощью полиэдральных поверхностей.
Предельная площадь этих приближений может быть сделана произвольно большой. Эта конструкция позволяет увидеть несостоятельность определения площади поверхности как точной верхней грани площадей вписанных в неё полиэдральных поверхностей, в противоположность тому, что длина кривой может быть определена как точная верхняя грань длин вписанных в неё ломаных.
Данная конструкция была предложена Карлом Шварцем в 1890 году.
Высота цилиндра делится плоскостями, параллельными основаниям, на равных частей. В образовавшиеся сечения (окружности) вписываются правильные -угольники, причём соседние -угольники повёрнуты относительно друг друга на угол . Затем вершины -угольников соединяются так, что образуется поверхность из треугольников; каждый её "слой" — антипризма. Полученная полиэдральная поверхость называется сапогом Шварца.
Если , то размеры этих треугольников становятся сколь угодно малыми, то есть сапог Шварца стремится к цилиндру.
Сапог Шварца.