Солито́н — структурно устойчивая уединённая волна, распространяющаяся в нелинейной среде.

Солитоны ведут себя подобно частицам (частицеподобная волна): при взаимодействии друг с другом или с некоторыми другими возмущениями они не разрушаются, а продолжают движение, сохраняя свою структуру неизменной. Это свойство может использоваться для передачи данных на большие расстояния без помех.

История изучения солитона началась в августе 1834 года на берегу канала Юнион вблизи Эдинбурга. Джон Скотт Рассел наблюдал на поверхности воды явление, которое он назвал уединённой волной — «solitary wave»^[1][2][3].

Впервые понятие солитона было введено для описания нелинейных волн, взаимодействующих как частицы^[4].

Солитоны бывают различной природы:

• на поверхности жидкости^[5] (первые солитоны, обнаруженные в природе^[6]), иногда считают таковыми волны цунами и бор^[7]
• ионозвуковые и магнитозвуковые солитоны в плазме^[8]
• гравитационные солитоны в слоистой жидкости^[9]
• солитоны в виде коротких световых импульсов в активной среде лазера^[10]
• можно рассматривать в виде солитонов нервные импульсы^[11]
• солитоны в нелинейно-оптических материалах^[12][13]

Математическая модель

Уравнение Кортевега — де Фриза

Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега — де Фриза:

Одним из возможных решений данного уравнения является уединённый солитон:

где  — амплитуда солитона,  — фаза. Эффективная ширина основания солитона равна . Такой солитон движется со скоростью . Видно, что солитоны с большой амплитудой оказываются более узкими и движутся быстрее^[14].

В более общем случае можно показать, что существует класс многосолитонных решений, таких что асимптотически при решение распадается на несколько удалённых одиночных солитонов, движущихся с попарно различными скоростями. Общее N-солитонное решение можно записать в виде

где матрица даётся выражением

Здесь и  — произвольные вещественные постоянные.

Замечательным свойством многосолитонных решений является безотражательность: при исследовании соответствующего одномерного уравнения Шрёдингера

с потенциалом , убывающим на бесконечности быстрее чем , коэффициент отражения равен 0 тогда и только тогда, когда потенциал есть некоторое многосолитонное решение уравнения КдФ в некоторый момент времени .

Интерпретация солитонов как некоторых упруго взаимодействующих квазичастиц основана на следующем свойстве решений уравнения КдФ. Пусть при решение имеет асимптотический вид солитонов, тогда при оно также имеет вид солитонов с теми же самыми скоростями, но другими фазами, причём многочастичные эффекты взаимодействия полностью отсутствуют. Это означает, что полный сдвиг фазы -го солитона равен

Пусть -ый солитон движется быстрее, чем -ый, тогда

то есть фаза более быстрого солитона при парном столкновении увеличивается на величину , а фаза более медленного — уменьшается на , причём полный сдвиг фазы солитона после взаимодействия равен сумме сдвигов фаз от попарного взаимодействия с каждым другим солитоном.

Нелинейное уравнение Шрёдингера

Для нелинейного уравнения Шрёдингера:

при значении параметра допустимы уединённые волны в виде:

где  — некоторые постоянные, связанные соотношениями:

См. также

• Модель Френкеля — Конторовой
• Ионно-звуковые солитоны

Примечания