02-08-2023
Тензор электромагнитного поля — это антисимметричный, дважды ковариантный тензор, являющийся обобщением напряжённости электрического и индукции магнитного поля для произвольных преобразований координат. Он используется для инвариантной формулировки уравнений электродинамики, в частности, с его помощью можно легко обобщить электродинамику на случай наличия гравитационного поля.
Содержание |
Тензор электромагнитного поля определяется через 4-потенциал по формуле
Хотя он выражается через обычные производные, а не ковариантные, он является тензором относительно произвольных преобразований координат. Это следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:
Если рассматривать 4-потенциал как 1-форму на пространстве-времени, то тензор электромагнитного поля выражается как внешняя производная
Отсюда также очевидна его инвариантность.
Ковариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид
Такая зависимость антисимметричного тензора от двух векторов условно записывается как
Контравариантные компоненты (в пространстве с метрикой Минковского) имеют вид
что обозначается как
Таким образом, оказывается, что векторы электрического и магнитного полей преобразуются в общем случае нелинейных преобразований не как векторы, а как компоненты тензора типа (0,2). Закон их преобразований при переходе в систему отсчёта, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид
Непосредственно из определения следует, что
В компонентах это выражение принимает вид
где — символ Леви-Чивиты для 4-хмерного пространства. Если расписать это выражение через компоненты векторов электрического и магнитного поля, то оно совпадёт с первой парой уравнений Максвелла:
Вторая пара уравнений Максвелла выражается через тензор электромагнитного поля как
где — вектор 4-тока.
Также можно записать их через звёздочку Ходжа:
Сила Лоренца выражается через вектор 4-скорости частицы и заряд по формуле
Тензор электромагнитного поля.