Stamp-i-k.ru
Печати, штампы
Рекомендуем
Теорема Пойнтинга
16-10-2023
Теорема Пойнтинга (англ. Poynting's theorem) — теорема, описывающая закон сохранения энергии электромагнитного поля. Теорема была доказана в 1884 Джоном Генри Пойнтингом. Всё сводится к следующей формуле:
- ,
Где S — вектор Пойнтинга, J — плотность тока и E — электрическое поле. Плотность энергии ( — электрическая постоянная, — магнитная постоянная).
Теорема Пойнтинга в интегральной форме:
- ,
где — поверхность, ограничивающая объём .
В технической литературе теорема обычно записывается так ( — плотности энергии):
,
,где — плотность энергии электрического поля, — плотность энергии магнитного поля и — мощность джоулевых потерь в единице объёма.
Вывод
Теорема может быть выведена с помощью двух уравнений Максвелла (для простоты считаем, что среда - вакуум (μ=1, ε=1); для общего случая с произвольной средой, нужно в формулы к каждому ε0 и μ0 приписать ε и μ):
Домножив обе части уравнения на , получим:
Рассмотрим сначала уравнение Максвелла-Ампера:
Домножив обе части уравнения на , получим:
Вычитая первое из второго, получим:
Наконец:
Поскольку вектор Пойнтинга определяется как:
это равносильно:
Обобщение
Механическая энергия описанной выше теоремы
где u_m — кинетическая энергия плотности в системе. Она может быть описана как сумма кинетической энергии частиц α
— поток энергии, или «механический вектор Пойнтинга»:
Уравнение непрерывности энергии или закон сохранения энергии
Альтернативные формы
Можно получить и другие формы теоремы Пойнтинга. Вместо того чтобы использовать вектор потока можно выбрать форму Авраама , форму Минковского , или какую-либо другую.
Теорема Пойнтинга.