Порядковое число, или трансфинитное число, или ординал в теории множеств — некоторое обобщение понятия натурального числа «за пределы бесконечности». Впервые введены Георгом Кантором в 1897 году с целью классификации вполне упорядоченных множеств. Играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств, в особенности в связи со связанным с ними принципом трансфинитной индукции.

Определение

Порядковые числа допускают различные варианты в том или ином смысле эквивалентных определений. Одна из современных формулировок определения порядкового числа по фон Нейману выглядит следующим образом:

• Назовём множество транзитивным, если каждый элемент является подмножеством : .
• Удовлетворяющее аксиоме фундирования множество называется ординалом, или порядковым числом, если оно само и каждый его элемент транзитивны: .

Заметим, что аксиома фундирования существенно используется в этом определении, что необходимо учитывать при работе с аксиоматическими системами, отличными от системы Цермело — Френкеля.

Для обозначения порядковых чисел обычно используются строчные греческие буквы Данная статья придерживается таких обозначений.

Свойства

• Если  — порядковое число, то каждый элемент  — порядковое число.
• Для любых выполняется ровно одно из следующих соотношений:
• Любое множество порядковых чисел вполне упорядочено отношением (в частности, любое порядковое число, рассматриваемое как множество, вполне упорядочено отношением ), при этом  — наименьший элемент множества ,  — порядковое число, большее или равное любому из элементов множества . Выражения и для порядковых чисел эквивалентны. Ниже подразумевается, что порядковые числа сравниваются с помощью отношения
• Для любого вполне упорядоченного множества существует единственное порядковое число, изоморфное (в частности, для любого множества порядковых чисел существует единственное порядковое число, изоморфное ему).
• Любое совпадает с множеством всех порядковых чисел, меньших, чем .
• Начальный сегмент любого порядкового числа является порядковым числом.
• Пустое множество  — наименьшее порядковое число (а значит, оно является элементом любого другого порядкового числа).
•  называется регулярным (синоним: непредельным), если либо оно равно , либо существует непосредственно предшествующее ему другими словами, если существует но между ними нельзя вставить другое порядковое число В последнем случае говорят, что — порядковое число, следующее за , и пишут: (иногда просто что оказывается согласованным с обозначением для суммы порядковых чисел).
• Порядковые числа, не являющиеся непредельными, называются предельными порядковыми числами (иногда тоже относят к предельным порядковым числам).
• Множество всех конечных порядковых чисел изоморфно множеству неотрицательных целых чисел, и для них используются такие же обозначения, как для целых чисел. При этом операции сложения, умножения и возведения в степень для порядковых чисел переходят в соответствующие операции для целых чисел. Несколько первых порядковых чисел:

• Множество всех конечных порядковых чисел обозначается  Оно является наименьшим предельным порядковым числом и наименьшим бесконечным (а именно счётным) порядковым числом. Следующим за ним порядковым числом является
• Условие конечности можно записать как или, что то же самое,
• Существует бесконечное множество порядковых чисел, но не существует множества всех порядковых чисел. Иначе говоря, совокупность всех порядковых чисел является собственно классом.
• Каждое множество порядковых чисел ограничено сверху и имеет точную верхнюю грань, которая обозначается При этом
• Если — предельное порядковое число или , то иначе
• Точная верхняя грань счётного множества счётных порядковых чисел счётна.
• Каждое порядковое число имеет единственное представление в нормальной форме Кантора (англ.).

Арифметика порядковых чисел

Определения операций

• Сумма порядковых чисел рекурсивно определяется следующим образом:

где третье правило применяется в случае, когда является предельным порядковым числом.

• Используя те же обозначения, определим операцию умножения:

• Используя те же обозначения, определим операцию возведения в степень:

Свойства операций

• Сложение порядковых чисел некоммутативно; в частности,
• Сложение порядковых чисел ассоциативно: что позволяет записывать сумму нескольких слагаемых без скобок.
• Сумма возрастает при росте правого слагаемого и не убывает при росте левого слагаемого: из следует и
• Если то существует единственный ординал , для которого
• Умножение порядковых чисел некоммутативно; в частности,
• Умножение порядковых чисел ассоциативно: что позволяет записывать произведение нескольких сомножителей без скобок.
• Для сложения и умножения выполняется левая дистрибутивность:
• В случае конечности аргументов сложение, умножение и возведение в степень переходят в соответствующие операции для целых чисел (с конечными результатами).
• В случае счётности аргументов результаты сложения, умножения и возведения в степень также являются счётными.

См. также

• Кардинальное число

Литература