Накрытие — это непрерывное сюръективное отображение линейно связного пространства X на линейно связное пространство Y, такое, что у любой точки найдется окрестность , полный прообраз которой представляет собой объединение непересекающихся областей :

,

причем на каждой области отображение является гомеоморфизмом между и .

Формальное определение

Отображение линейно связного пространства на линейно связное пространство называется накрытием, если у любой точки имеется окрестность , для которой существует гомеоморфизм , где — дискретное пространство, такое что если обозначает естественную проекцию, то

.

Связанные определения

• Пространство Y называется базой накрытия, а X — пространством накрытия (или накрывающим пространством).
• Прообраз точки называют слоем над точкой .
• Число областей V_k в полном прообразе называется числом листов.
  • Если это число конечно и равно n, то накрытие называется n-листным.
• Накрытие называется универсальным если накрывающее пространство односвязно.

Примеры

• Пусть обозначает единичную окружность комплексной плоскости .
  • ,   .
  • ,   , где , .

Свойства

• Накрытия являются локальными гомеоморфизмами
• Накрытия являются частным случаем локально тривиальных расслоений. Их можно рассматривать как локально тривиальные расслоения с дискретным слоем.
• Все двулистные накрытия регулярны.
• Универсальное накрытие регулярно.

Связь с фундаментальной группой

Обычно накрытие рассматривается в предположении связности и и также локальной односвязности . При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами и : если , то индуцированный гомоморфизм , отображает изоморфно на подгруппу в и, меняя точку в , можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряженных подгрупп.

Если этот класс состоит из одной подгруппы (т. е. — нормальный делитель), то накрытие называется регулярным. В этом случае возникает свободное действие группы на , причем оказывается факторотображением на пространство орбит . Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым), но это так для конечных групп. Это действие порождается поднятием петель: если петле , , сопоставить единственный путь , для которого и , то точка будет зависеть только от класса этой петли в и от точки . Таким образом, элементу из отвечает перестановка точек в . Эта перестановка не имеет неподвижных точек, и непрерывно зависит от точки . Это определяет гомеоморфизм комутирующий с .

В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в , то есть имеется действие на , называемый монодромией накрытия. Частным случаем регулярного накрытия является универсальное накрытие, для которого или, что эквивалентно, X — односвязно.

Вообще, по каждой группе однозначно строится накрытие , для которого образ есть .

Для любого отображения линейно связного пространства в поднятие его до отображения существует тогда и только тогда, когда образ лежит в . Между накрытиями имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в . В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным элементом.

Литература

• Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука,1986
• В.Г.Болтянский, В.А.Ефремович, Наглядная топология выпуск 21 серии «Библиотечка квант» М., Наука, 1982.

См. также

• Локально тривиальное расслоение
• Фундаментальная группа