Чебышёвский альтернанс — свойство разности между некоторой непрерывной функцией и многочленом, который приближает данную функцию. Открыт русским математиком Чебышёвым.

Теорема Чебышёва об альтернансе

Чтобы многочлен был многочленом наилучшего равномерного приближения непрерывной функции , необходимо и достаточно существования на по крайней мере точек таких, что

,

где одновременно для всех

Точки , удовлетворяющие условиям теоремы, называются точками чебышёвского альтернанса.

Пример приближения функции

Допустим, что необходимо приблизить функцию квадратного корня с помощью линейной функции (многочлена первой степени на интервале (1, 64). Так как функция квадратного корня выпуклая, существует одна точка экстремума функции. Из условия теоремы, нам необходимо (в рассматриваемом случае — 3) точек чебышёвского альтернанса. Поэтому таковыми точками являются точка экстремума и концы интервала, на котором происходит приближение функции. Обозначим .  — точка экстремума. Тогда имеют место следующие уравнения:

Здесь  — разности между значениями функции и многочлена. Вычитая первое уравнение из третьего, можно получить, что

Так как  — точка экстремума, а линейная функция и функция квадратного корня непрерывны и дифференцируемы, определить значение можно из следующего уравнения:

Отсюда

Теперь можно вычислить

Следовательно, наилучшее линейное приближение функции на интервале от 1 до 64:

.

Литература

• Численные методы — Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. Н. Кобельков
• Ресурсно-эффективные компьютерные алгоритмы — М. В. Ульянов

Ссылки

• Лекции А. М. Мацокина

См. также

• Многочлены Чебышёва