Для всякого собственного значения по определению верно . Следовательно, по определению самосопряжённого преобразования равны следующие выражения:

и

,

откуда — число вещественное.

В унитарном пространстве скалярное произведение определяется как , где и - координатные столбцы векторов и соответственно. Отсюда по определению самосопряжённого оператора равны выражения

и

Следовательно, , что и есть определение эрмитовой матрицы.

Лемма 1. Собственные подпространства самосопряжённого преобразования попарно ортогональны.

Доказательство леммы 1: Имеются два различных собственных значения и . Соответственно для векторов и из соответствующих им собственных подпространств выполняется и . Отсюда равно . Но собственные значения самосопряжённого преобразования вещественны, можно из последнего выражения вынести . Таким образом, по определению самосопряжённого преобразования можно получить , откуда при различности собственных значений ясно, что , что и требовалось доказать.

Лемма 2. Если подпространство инвариантно относительно самосопряжённого преобразования , то ортогональное дополнение этого подпространства также инвариантно относительно .

Доказательство леммы 2: Известно, что образ любого вектора , принадлежащего подпространству , лежит в нём. Следовательно, для любого вектора выполняется . Так как преобразование самосопряжённое, то отсюда следует, что , то есть образ любого вектора из принадлежит , что и означает, что подпространство инвариантно относительно преобразования A, что и требовалось доказать.

Доказательство свойства 3:

Для оператора R в n-мерном пространстве существует по крайней мере одно собственное значение. По свойству 1 это собственное значение вещественно. Можно найти отвечающий ему собственный вектор е₁. Без ограничения общности можно считать, что . Если п=1, то доказательство завершено.

Рассмотрим Е₁ - линейную оболочку элемента е₁, являющуюся одномерным инвариантным собственным подпространством R. Пусть Е^n-1 - ортогональное дополнение к Е . Тогда по лемме 2 Е^n-1 инвариантно относительно рассматриваемого оператора. Рассмотрим его теперь как R', как действующий только в Е^n-1 . Тогда очевидно, что он будет самосопряженным оператором, заданным в Е^n-1 , поскольку Е^n-1 инвариантно относительно R по лемме 2 и, кроме того, для х,у Еⁿ  : (Rx,y) = (x,Ry), в том числе и для х,у Е^n-1.

Применяя изложенные выше рассуждения, найдем новое собственное значение и соответствующий ему собственный вектор . Без ограничения общности можно считать, что . При этом может случайно совпасть с , однако, из построения ясно, что . Если п=2, то доказательство завершено. Иначе рассмотрим Е - линейную оболочку и ее ортогональное дополнение Е^n-2. Найдём новое собственное значение и соответствующий ему собственный вектор и т.д.

Аналогичные рассуждения проводим до исчерпания Еⁿ .

Доказательство завершено.