1 закон Кеплера

05-06-2023

(перенаправлено с «1 закон Кеплера»)
Перейти к: навигация, поиск

Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом / → 0, где ,  — массы планеты и Солнца соответственно.

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)

Первый закон Кеплера.

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением , где  — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния),  — большая полуось. Величина называется эксцентриситетом эллипса. При , и, следовательно, эллипс превращается в окружность.

Доказательство первого закона Кеплера

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение a имеет форму

Вспомним, что в полярных координатах

В координатной форме запишем

Подставляя и во второе уравнение, получим

которое упрощается

После интегрирования запишем выражение

для некоторой константы , которая является удельным угловым моментом ().Пусть

Уравнение движения в направлении становится равным

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

где G — универсальная гравитационная константа и M — масса звезды.

В результате

Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:

для произвольных констант интегрирования e и θ0.

Заменяя u на 1/r и полагая θ0 = 0, получим:

Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Второй закон Кеплера.

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Третий закон Кеплера (гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.

, где и  — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а и  — длины больших полуосей их орбит.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты: , где  — масса Солнца, а и  — массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Доказательство третьего закона Кеплера

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках A и B (перигелий и афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках A и B, запишем

[1]

Теперь, когда мы нашли , мы можем найти секториальную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим

= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot \sqrt{\frac{GM\cdot(1-\epsilon)}{a\cdot(1+\epsilon)}} = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}

Однако полная площадь эллипса равна (что равно , поскольку ). Время полного оборота, таким образом, равно

T=\frac{2\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2}{\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}} =\frac{2\pi a^2}{\sqrt{GMa}}= \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\sqrt{a^3}

Заметим, что если масса m не пренебрежимо мала по сравнению с M, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы (см. приведённая масса). При этом массу M в последней формуле нужно заменить на :


Литература

  • Планеты движутся по эллипсам // Квант. — 1979. — № 12. — С. 13—19.
  История астрономии
Древний период Вавилон  • Древний Египет  • Древний Китай  • Индия  • Инки  • Майя  • Ацтеки  • Австралийские аборигены  • Древняя Греция
Средневековье Индия  • Исламский Восток  • Средневековая Европа  • Космология в иудаизме
Становление теоретической астрономии Гелиоцентрическая система мира  • Законы Кеплера
XVII век Закон всемирного тяготения
XVIII век Эдмунд Галлей  • Уильям Гершель
XIX век Открытие Нептуна
XX век Телескоп Хаббл
См. также: Портал:Астрономия
  Иоганн Кеплер
Научные достижения Гипотеза Кеплера • Законы Кеплера • Кеплеровы элементы орбиты • Треугольник Кеплера • Уравнение Кеплера • Тело Кеплера — Пуансо • Сверхновая Кеплера
Публикации Mysterium Cosmographicum (1596) • Astronomia nova (1609) • Epitome Astronomiae Copernicanae (1617–21) • Harmonices Mundi (1619) • Рудольфинские таблицы (1627) • Somnium (1634)
Семья Катарина Кеплер (мать) • Якоб Барч (зять)

  1. ↑ Необходимо задать параметр title= в шаблоне {{cite web}}. Необходимо задать параметр url= в шаблоне {{cite web}}. Джорджий. .

1 закон Кеплера.

© 2011–2023 stamp-i-k.ru, Россия, Барнаул, ул. Анатолия 32, +7 (3852) 15-49-47