NTRUEncrypt (аббревиатура Nth-degree TRUncated polynomial ring или Number Theorists aRe Us) — это криптографическая система с открытым ключом, ранее называвшаяся NTRU.

Криптосистема NTRUEncrypt, основанная на решётчатой криптосистеме (англ.), создана в качестве альтернативы RSA и криптосистемам на эллиптических кривых (ECC). Стойкость алгоритма обеспечивается трудностью поиска кратчайшего вектора решётки (англ.), которая более стойкая к атакам, осуществляемым на квантовых компьютерах. В отличие от своих конкурентов RSA, ECC, Elgamal, алгоритм использует операции над кольцом усеченных многочленов степени, не превосходящей :

Такой многочлен можно также представить вектором

Как и любой молодой алгоритм, NTRUEncrypt плохо изучен, хотя и был официально утверждён для использования в сфере финансов комитетом Accredited Standards Committee X9.^[1]

Существует реализации NTRUEncrypt с открытым исходным кодом.^[2]

Содержание 1 История 2 Кольца усеченных многочленов 3 Генерация открытого ключа 4 Шифрование 5 Расшифрование 6 Стойкость к атакам 6.1 Полный перебор 6.2 Встреча посередине 6.3 Атака на основе множественной передачи сообщения 6.4 Атака на основе решётки 6.5 Атака на основе подобранного шифротекста 7 Параметры стойкости и быстродействие 7.1 Рекомендованные параметры 8 Примечания 9 Ссылки

История

NTRUEncrypt, изначально называвшийся NTRU, был изобретён в 1996 году и представлен миру на конференциях CRYPTO (англ.), Конференция RSA, Eurocrypt (англ.). Причиной, послужившей началом разработки алгоритма в 1994 году, стала статья^[3], в которой говорилось о легкости взлома существующих алгоритмов на квантовых компьютерах, которые, как показало время, не за горами^[4]. В этом же году, математики Jeffrey Hoffstein, Jill Pipher и Joseph H. Silverman, разработавшие систему вместе с основателем компании NTRU Cryptosystems, Inc. (позже переименованной в SecurityInnovation), Даниелем Лиеманом (Daniel Lieman) запатентовали свое изобретение.^[5]

Кольца усеченных многочленов

NTRU оперирует над многочленами степени не превосходящей

где коэффициенты  — целые числа. Относительно операций сложения и умножения по модулю многочлена такие многочлены образуют кольцо R, называемое кольцом усечённых многочленов, которое изоморфно кольцу отношений

NTRU использует кольцо усеченных многочленов R совместно с делением по модулю на взаимно простые числа p и q для уменьшения коэффициентов многочленов.

В работе алгоритма также используются обратные многочлены в кольце усеченных многочленов. Следует отметить, что не всякий многочлен имеет обратный, но если обратный полином существует, то его легко вычислить.^[6][7]

В качестве примера будут выбраны следующие параметры:

Обозначения параметров	N	q	p
Значения параметров	11	32	3

Генерация открытого ключа

Для передачи сообщения от Алисы к Бобу необходимы открытый и закрытый ключи. Открытый знают как Боб, так и Алиса, закрытый ключ знает только Боб, который он использует для генерации открытого ключа. Для этого Боб выбирает два «маленьких» полинома f g из R. «Малость» полиномов подразумевается в том смысле, что он маленький относительно произвольного полинома по модулю q: в произвольном полиноме коэффициенты должны быть примерно равномерно распределены по модулю q, а в малом полиноме они много меньше q. Малость малость полиномов определяется с помощью чисел df и dg:

• Полином f имеет df коэффициентов равных «1» и df-1 коэффициентов равных «-1», а остальные — «0». В этом случае говорят, что
• Полином g имеет dg коэффициентов равных «1» и столько же равных «-1», остальные — «0» В этом случае говорят, что

Причина, по которой полиномы выбираются именно таким образом, заключается в том, что f , возможно, будет иметь обратный, а g — однозначно нет (g (1) = 0, а нулевой элемент не имеет обратного).

Боб должен хранить эти полинома в секрете. Далее Боб вычисляет обратные полиномы и , то есть такие, что:

и .

Если f не имеет обратного полинома, то Боб выбирает другой полином f.

Секретный ключ — это пара , а открытый ключ h вычисляется по формуле:

Пример

Для примера возьмем df=4, а dg=3. Тогда в качестве полиномов можно выбрать

Далее для полинома f ищутся обратные полиномы по модулю p=3 и q=32:

Заключительным этапом является вычисление самого открытого ключа h:

Шифрование

Теперь, когда у Алисы есть открытый ключ, она может отправить зашифрованное сообщение Бобу. Для этого нужно сообщение представить в виде полинома m с коэффициентами по модулю p, выбранными из диапазона (-p/2, p/2]. То есть m является «малым» полиномом по модулю q. Далее Алисе необходимо выбрать другой «малый» полином r, который называется «ослепляющим», определяемый с помощью числа dr:

• Полином r имеет dr коэффициентов равных «1» и столько же равных «-1», остальные — «0». В этом случае говорят, что

Используя эти полиномы, зашифрованное сообщение получается по формуле:

При этом любой, кто знает (или может вычислить) ослепляющий полином r, сможет прочесть сообщение m.

Пример

Предположим, что Алиса хочет послать сообщение, представленное в виде полинома

и выбрала «ослепляющий» полином, для которого dr=3:

Тогда шифротекст e, готовый для передачи Бобу будет:

Расшифрование

Теперь, получив зашифрованное сообщение e, Боб может его расшифровать, используя свой секретный ключ. Вначале он получает новый промежуточный полином:

Если расписать шифротекст, то получим цепочку:

и окончательно:

После того, как Боб вычислил полином a по модулю q, он должен выбрать его коэффициенты из диапазона (-q/2, q/2] и далее вычислить полином b, получаемый из полинома a приведением по модулю p:

так как .

Теперь, используя вторую половину секретного ключа и полученный полином b, Боб может расшифровать сообщение:

Нетрудно видеть, что

Таким образом полученный полином c действительно является исходным сообщением m.

Пример: Боб получил от Алисы шифрованное сообщение e

Используя секретный ключ f Боб получает полином a

с коэффициентами, принадлежащими промежутку (-q/2, q/2]. Далее преобразует полином a в полином b, уменьшая коэффициенты по модулю p.

Заключительный шаг — перемножение полинома b со второй половиной закрытого ключа

Который является исходным сообщением, которое передавала Алиса.

Стойкость к атакам

Полный перебор

Первая из возможных атак — атака перебором. Тут возможно несколько вариантов перебора: либо перебирать все , и проверять на малость коэффициенты полученных результатов , которые, по задумке, должны был быть малыми, либо перебирать все , также проверяя на малость коэффициенты результата . На практике пространство меньше пространства , следовательно стойкость определяется пространством . А стойкость отдельного сообщения определяется пространством .

Встреча посередине

Существует более оптимальный вариант перебора встреча посередине (англ.), предложенный Андрю Одлыжко (Andrew Odlyzko). Этот метод уменьшает количество вариантов до квадратного корня:

Стойкости закрытого ключа = = ,

И стойкости отдельного сообщения = = .

Атака «встреча посередине» позволяет разменять время, необходимое для вычислений на память, необходимую для хранения временных результатов. Таким образом, если мы хотим обеспечить стойкость системы , нужно выбрать ключ размера .

Атака на основе множественной передачи сообщения

Довольно серьёзная атака на отдельное сообщение, которую можно избежать, следуя простому правилу не пересылать многократно одно и то же сообщение. Суть атаки заключается в нахождении части коэффициентов ослепляющего многочлена r. А остальные коэффициенты можно просто перебрать, тем самым прочитав сообщение. Так как зашифрованное одно и то же сообщение с разными ослепляющими многочленами это , где i=1, … n. Можно вычислить выражение , которое в точности равно . Для достаточно большого количества переданных сообщений (скажем, для n = 4, 5, 6), можно восстановить, исходя из малости коэффициентов, большую часть ослепляющего многочлена .

Атака на основе решётки

Рассмотрим решётку, порождённую строками матрицы размера 2N×2N с детерминантом , состоящей из четырёх блоков размера N×N:

Так как открытый ключ , то , следовательно в этой решетке содержится вектор размера 2N, в котором идут сначала коэффициенты вектора f, помноженные на коэффициент , затем коэффициенты вектора g. Задача поиска такого вектора, при больших N и правильно подобранных параметрах, считается трудно разрешимой.

Атака на основе подобранного шифротекста

Атака на основе подобранного шифротекста является наиболее опасной атакой. Ее предложили Éliane Jaulmes и Antoine Joux^[8] в 2000 году на конференции CRYPTO. Суть этой атаки заключается в подборе такого многочлена a(x), чтобы . При этом Ева не взаимодействует ни с Бобом, ни с Алисой.

Если взять шифротекст , где , то получим многочлен . Так как коэффициенты многочленов f и g принимают значения «0», «1» и «-1», то коэффициенты многочлена a будут принадлежать множеству {-2py , -py , 0, py, 2py}. Если py выбрать таким, что , то при сведении по модулю полинома a(x) приведутся только коэффициенты равные -2py или 2py. Пусть теперь i-ый коэффициент равен 2py, тогда многочлен a(x) после приведения по модулю запишется как:

,

а многочлен b(x):

,

окончательно вычислим:

.

Теперь, если рассмотреть все возможные i, то вместо отдельных , можно составить полином K и расшифрованное сообщение примет вид:

,

или, секретный ключ:

,

Вероятность таким образом отыскать составляющие ключа составляет порядка 0,1 … 0,3 для ключа размера 100. Для ключей большого размера (~500) эта вероятность очень мала. Применив данный метод достаточное количество раз, можно полностью восстановить ключ.

Для защиты от атаки такого типа используется расширенный метод шифрования NTRU-FORST. Для шифрования используется ослепляющий многочлен , где H — криптографически-стойкая хэш-функция, а R — случайный набор бит. Получив сообщение, Боб расшифровывает его. Далее Боб шифрует только что расшифрованное сообщение, таким же образом, что и Алиса. После сверяет его на соответствие с полученным. Если сообщения идентичные, то Боб принимает сообщение, иначе отбраковывает.

Параметры стойкости и быстродействие

Несмотря на то, что существуют быстрые алгоритмы поиска обратного полинома, разработчики предложили для коммерческого применения в качестве секретного ключа f брать:

,

где F — малый полином. Таким образом выбранный ключ обладает следующими преимуществами:

• f всегда имеет обратный по модулю p, а именно .
• Так как нам больше не нужно при расшифровке умножать на обратный полином , и он выпадает из разряда секретного ключа.

Одно из исследований показало, что NTRU на 4 порядка быстрее RSA и на 3 порядка — ECC.

Как уже упоминалось ранее разработчики, для обеспечения высокой стойкости алгоритма, предлагают использовать только рекомендованные параметры, обозначенные в таблице:

Рекомендованные параметры

Обозначение	N	q	p	df	dg	dr	Гарантированная стойкость
NTRU167:3	167	128	3	61	20	18	Умеренный уровень стойкости
NTRU251:3	251	128	3	50	24	16	Стандартный уровень стойкости
NTRU503:3	503	256	3	216	72	55	Высочайший уровень стойкости
NTRU167:2	167	127	2	45	35	18	Умеренный уровень стойкости
NTRU251:2	251	127	2	35	35	22	Стандартный уровень стойкости
NTRU503:2	503	253	2	155	100	65	Высочайший уровень стойкости

Примечания

Ссылки

• NTRU Cryptosystems’s technical website
• NTRU Cryptosystems, Inc.
• Jeffrey Hoffstein, Jill Pipher, Joseph H. Silverman. NTRU: A Ring Based Public Key Cryptosystem. In Algorithmic Number Theory (ANTS III), Portland, OR, June 1998, J.P. Buhler (ed.), Lecture Notes in Computer Science 1423, Springer-Verlag, Berlin, 1998, 267—288.
• Howgrave-Graham, N., Silverman, J.H. & Whyte, W., Meet-In-The-Middle Attack on a NTRU Private Key.
• J. Hoffstein, J. Silverman. Optimizations for NTRU. Public-Key Cryptography and Computational Number Theory (Warsaw, September 11-15, 2000), DeGruyter, to appear.
• A. C. Atici, L. Batina, J. Fan & I. Verbauwhede. Low-cost implementations of NTRU for pervasive security.

Асимметричные шифры
RSA • DSA • DSS • NTRUEncrypt • Эль-Гамаля • Меркля — Хеллмана • Шнорра • Эллиптические • ГОСТ Р 34.10-2001 • ДСТУ 4145-2002