Алгори́тм Бору́вки — это алгоритм нахождения минимального остовного дерева в графе.

Впервые был опубликован в 1926 году Отакаром Борувкой в качестве метода нахождения оптимальной электрической сети в Моравии. Несколько раз был переоткрыт, например Флореком, Перкалом и Соллином. Последний, кроме того, был единственным западным ученым из этого списка, и поэтому алгоритм часто называют алгоритмом Соллина, особенно в литературе по параллельным вычислениям.

Алгоритм

Работа алгоритма состоит из нескольких итераций, каждая из которых состоит в последовательном добавлении рёбер к остовному лесу графа, до тех пор, пока лес не превратится в дерево, то есть, лес, состоящий из одной компоненты связности.

В псевдокоде, алгоритм можно описать так:

1. Изначально, пусть  — пустое множество ребер (представляющее собой остовный лес, в который каждая вершина входит в качестве отдельного дерева).
2. Пока не является деревом (что эквивалентно условию: пока число рёбер в меньше, чем , где  — число вершин в графе):
   • Для каждой компоненты связности (то есть, дерева в остовном лесе) в подграфе с рёбрами , найдём самое дешёвое ребро, связывающее эту компоненту с некоторой другой компонентой связности. (Предполагается, что веса рёбер различны, или как-то дополнительно упорядочены так, чтобы всегда можно было найти единственное ребро с минимальным весом).
   • Добавим все найденные рёбра в множество .
3. Полученное множество рёбер является минимальным остовным деревом входного графа.

Сложность алгоритма

На каждой итерации число деревьев в остовном лесу уменьшается по крайней мере в два раза, поэтому всего алгоритм совершает не более итераций. Каждая итерация может быть реализована со сложностью , поэтому общее время работы алгоритмы составляет времени (здесь и  — число вершин и рёбер в графе, соответственно).

Однако для некоторых видов графов, в частности, планарных, оно может быть уменьшено до .^[1] Существует также рандомизированный алгоритм построения минимального остовного дерева, основанный на алгоритме Борувки, работающий в среднем за линейное время.

См. также

• Минимальное остовное дерево

Литература

• Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы на C++, часть 5. Алгоритмы на графах. ISBN 5-93772-082-2.

Примечания