31-07-2023
Пусть — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль над кольцом , в котором для заданного билинейного отображения
определено произведение согласно равенству
называется алгеброй над или -алгеброй.
Согласно определению для всех и , , справедливы соотношения
Нетрудно убедиться, что относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.
Для , коммутатор определён равенством
-алгебра называется коммутативной, если
Для , , ассоциатор определён равенством
-алгебра называется ассоциативной, если
Если существует элемент такой, что для всех , то называется единицей алгебры , а сама алгебра называется алгеброй с единицей.
Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия 6 требуют более слабое:
Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение (где — целое число) обычно, то есть как сумму копий . Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.
Если вместо билинейного отображения выбрать полилинейное отображение
и определить произведение согласно правилу
то полученная алгебраическая структура называется -алгеброй.
Содержание |
Если алгебра над коммутативным кольцом является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом . Если алгебра имеет конечный базис, то алгебра называется конечномерной.
Если является полем, то, по определению, -алгебра является векторным пространством над , а значит, имеет базис.
Базис конечномерной алгебры обычно обозначают , ..., . Если алгебра имеет единицу , то обычно единицу включают в состав базиса и полагают . Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения
А именно, если , , то произведение можно представить в виде
Величины называются структурными константами алгебры .
Если алгебра коммутативна, то
Если алгебра ассоциативна, то
Мы можем рассматривать алгебру над коммутативным кольцом как модуль над коммутативным кольцом . Отображение
алгебры над коммутативным кольцом в алгебру над кольцом называется линейным, если
для любых , , . Множество линейных отображений алгебры в алгебру обозначается символом .
Линейное отображение
алгебры в алгебру называется гомоморфизмом, если
для любых , , а также выполнено условие: если алгебры и имеют единицу, то
Множество гомоморфизмов алгебры в алгебру обозначается символом .
Очевидно, что .
Ассоциативная алгебра.