Бета-функция Дирихле

Бета-функция Дирихле действительного аргумента x

Бе́та-фу́нкция Дирихле́ (Dirichlet beta function) в математике, иногда называемая бета-функцией Каталана (Catalan beta function) — специальная функция, тесно связанная с дзета-функцией Римана. Она является частным случаем L-функции Дирихле. Она названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежён-Дирихле (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), а альтернативное название — в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (Eugène Charles Catalan).

Бета-функция Дирихле определяется как

или, эквивалентным образом, через интегральное представление

где Γ(s) — гамма-функция Эйлера. В обоих случаях предполагается, что Re(s) > 0.

Содержание

Альтернативное определение через дзета-функцию Гурвица справедливо на всей комплексной плоскости переменной s:

Бета-функция Дирихле также связана с функцией Лерха (англ. Lerch transcendent),

Это соотношение также верно на всей комплексной плоскости переменной s.

Соотношение между β(s) и β(1-s) позволяет аналитически продолжить бета-функцию Дирихле на левую часть комплексной плоскости переменной s (то есть для Re(s)<0),

$\beta(s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{s-1} \Gamma(1-s) \cos\left(\tfrac{1}{2}\pi s\right)\,\beta(1-s) \; ,$

Частные значения бета-функции Дирихле при целых значения аргумента включают в себя

где G — постоянная Каталана, а — частное значение полигамма-функции третьего порядка.

В общем случае, для любого положительного целого k,

где E_2k — числа Эйлера (англ. Euler numbers). Для отрицательных значений аргумента (для целых неотрицательных k) мы имеем

то есть β(s) равна нулю для всех целых нечётных отрицательных значений аргумента (см. график функции).

s	приблизительное значение β(s)	OEIS
1	0.7853981633974483096156608	A003881
2	0.9159655941772190150546035	A006752
3	0.9689461462593693804836348	A153071
4	0.9889445517411053361084226	A175572
5	0.9961578280770880640063194	A175571
6	0.9986852222184381354416008	A175570
7	0.9995545078905399094963465
8	0.9998499902468296563380671
9	0.9999496841872200898213589
10	0.9999831640261968774055407

Для некоторых целых значений аргумента s производная β'(s) может быть вычислена аналитически,

(см. также OEIS A113847 и A078127).

Кроме этого, для целых положительных n производную можно представить в виде бесконечной суммы

J. Spanier & K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
Weisstein, Eric W. Dirichlet Beta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.