Внешняя алгебра или алгебра Грассмана — алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом в 1844 г.

Определение

Внешняя алгебра векторного пространства над полем  — ассоциативная алгебра над K, операция в которой обозначается знаком , а порождающими элементами являются , где  — базис пространства . Определяющие соотношения имеют вид

• ;
• .

Внешняя алгебра обычно обозначается , она не зависит от выбора базиса.

Связанные определения

• Операция называется внешним произведением.
• Подпространство (для ) в , порождённое элементами вида , называется -ой внешней степенью пространства .
• Элемент называется внешней формой степени k или внешней k-формой на V.

Свойства

• Имеют место равенства:

, в частности

при .

• градуированная коммутативность: , если ,.
• Элементы пространства называются r-векторами; их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над , с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть композиция полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
  • В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:

  • Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу

• Линейно независимые системы из векторов и из порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда -векторы и пропорциональны.
• Алгебра имеет структуру градуированной алгебры:

Ссылки

• Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

См. также

• Алгебра Клиффорда
• Тензорная алгебра
• Симметрическая алгебра
• Поливектор