Действия с числовыми рядами — некоторые (арифметические или перестановочные) манипуляции с одним или несколькими числовыми рядами. Эти действия могут сохранять или нарушать вид сходимости.

Сохраняющий условную сходимость

Выделяют следующие действия с числовыми рядами (они имеют смысл, то есть сохраняют сумму ряда, только если она существует):

Линейная комбинация рядов

Если ряды и сходятся, то сходится и ряд (α, β — постоянные), при этом

Группировка членов ряда

Сгруппируем слагаемые ряда , объединив без изменения порядка следования по нескольку (конечное число) членов ряда. Получим некоторый новый ряд . Раскрытие скобок в ряде в общем случае недопустимо, однако: если после раскрытия скобок получается сходящийся ряд, то раскрытие скобок возможно; если в каждой скобке все слагаемые имеют один и тот же знак, то раскрытие скобок не нарушает сходимости и не изменяет величину суммы.

Другие

Перемножение рядов

Пусть имеются два ряда и . Тогда их можно перемножить, используя правило Коши: . В случае, если ряды и имеют неотрицательные члены и один из них сходится абсолютно,а другой сходится, то и полученный ряд будет сходящимся (по теореме Мертенса).

Перестановка членов ряда

• Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.
• Если ряд сходится условно, то для любого наперёд заданного A (в том числе , , ) можно так переставить члены этого ряда, что преобразованный ряд сходится к A (расходится к , , ) либо не имеет предела (теорема Римана).

См. также

• Методы интегрирования