Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа есть решение уравнения

Десятичный логарифм числа существует, если Принято (спецификация ISO 31-11) обозначать его . Примеры:

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: , причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Алгебраические свойства

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны^[1]:

Существует очевидное обобщение приведенных формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел с помощью логарифмических таблиц^[⇨] производилось по следующему алгоритму:

1. Найти в таблицах логарифмы чисел .
2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения .
3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов^[2]:

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Функция десятичного логарифма

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: . Она определена при всех . Область значений: . График этой кривой часто называется логарифмикой^[3].

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

Ось ординат является левой вертикальной асимптотой, поскольку:

Применение

Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа (характеристику логарифма) легко определить.

• Если то на 1 меньше числа цифр в целой части числа . Например, сразу очевидно, что lg 345 находится в промежутке (2, 3).
• Если то ближайшее к целое (в меньшую сторону) равно общему числу нулей в перед первой ненулевой цифрой, взятому со знаком минус. Например, lg 0,0014 находится в интервале (-3, -2).

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на Например:

Отсюда следует, что достаточно составить таблицу мантисс (дробных частей) десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным^[4]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел одна и та же мантисса.

История

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера, Carl Bremiker)^[5].

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого^[6]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов^[7]:

1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

Литература

Теория логарифмов

• Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.