16-10-2023
В математической логике, дизъюнкт Хорна — дизъюнкция литералов с не более чем одним положительным литералом. Дизъюнкты Хорна названы по имени логика Альфреда Хорна, который впервые указал важность таких дизъюнктов в статье 1951 года «On sentences which are true of direct unions of algebras» (Journal of Symbolic Logic 16, 14-21).
Дизъюнкт Хорна с ровно одним положительным литералом есть определённый дизъюнкт; в универсальной алгебре определённые дизъюнкты являются квазитождествами. Дизъюнкт Хорна без положительных литералов иногда называется целью или запросом, в частности в логическом программировании. Формула Хорна есть конъюнкция дизъюнктов Хорна, то есть формула в конъюнктивной нормальной форме, все дизъюнкты которой являются хорновскими. Двойственным дизъюнктом Хорна называют дизъюнкцию с не более чем одним отрицательным литералом. Дизъюнкты Хорна играют основополагающую роль в логическом программировании и имеют важное приложение в конструктивной логике.
Пример (определённого) дизъюнкта Хорна:
Эта формула может быть преобразована в эквивалентную формулу с импликацией:
Дизъюнкты Хорна могут быть пропозициональными формулами, либо формулами первого порядка, в зависимости от того, рассматриваются ли пропозициональные литералы или литералы первого порядка.
Дизъюнкты Хорна связаны с доказательством теорем через резолюции первого порядка, так как резолюция двух дизъюнктов Хорна является дизъюнктом Хорна. Кроме того, резолюция цели и определённого дизъюнкта также является дизъюнктом Хорна. В автоматическом доказательстве теорем, это может давать большую эффективность в доказательстве теоремы, представленной в виде цели.
Резолюция цели с определённым дизъюнктом для получения новой цели является основной для правила вывода в SLD-резолюции, используемого для реализации логического программирования и языка программирования Пролог. В логическом программировании определённый дизъюнкт используется как процедура редукции цели. Например, дизъюнкт Хорна из примера выше работает как процедура
Чтобы подчеркнуть это обратное применение дизъюнкта, часто используется оператор :
На Прологе это записывается в виде
u :- p, q, ..., t.
Пропозициональные дизъюнкты Хорна также представляют интерес для теории сложности вычислений, где задача HORNSAT поиска множества истинностных значений, выполняющих конъюнкцию дизъюнктов Хорна, является P-полной. Это вариант из класса P для SAT — важнейшей NP-полной задачи. Задача выполнимости дизъюнктов Хорна первого порядка не разрешима.
Дизъюнкт Хорна.