Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.

Необходимые знания

Для полного понимания этой статьи от читателя требуется начальные предствления о гладких многообразиях и их касательных пространствах.

Обозначения

Обычно дифференциал обозначается . Некоторые авторы предпочитают обозначать шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором. Дифференциал в точке обозначается , а иногда или . ( есть линейная функция на касательном пространстве в точке .)

Если есть касательный вектор в точке , то значение дифференциала на обычно обозначается , в этом обозначении излишне, но обозначения , и также правомерны.

Используется так же обозначение ; последнее свазано с тем, что дифференциал является естественным поднятием на косательные расслоения к многообразиям и .

Определения

Для вещественнозначных функций

Пусть  — гладкое многообразие и гладкая функция. Дифференциал представляет из себя 1-форму на , обычно обозначается и определяется соотношением

где обозначает производную по направлению касательного вектора в точке .

Для отображений гладких многообразий

Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие есть отображение между их касательными расслоениями, , такое что для любой гладкой функции имеем

где обозначает производную по направлению . (В левой части равенства берётся производная в функции по ; в правой — в функции по ).

Это понятие естественным образом обобщает понятия дифференциала функции.

Связанные определения

• Точка многообразия называется критической точкой отображения , если дифференциал не является сюрьективным. (см. также теорема Сарда)
  • В этом случае называется критическим значением .
  • Точка называется регулярной, если она не является критической.
• Гладкое отображение называется субмерсией, если для любой точки , дифференциал сюръективен.
• Гладкое отображение называется гладким погружением, если для любой точки , дифференциал инъективен.

Свойства

• Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:

  или

Примеры

• Пусть в открытом множестве задана гладкая функция . Тогда , где обозначает производную , а является постоянной формой, определяемой .
• Пусть в открытом множестве задана гладкая функция . Тогда . Форма может быть определена соотношением , для вектора .
• Пусть в открытом множестве задано гладкое отображение . Тогда

где есть матрица Якоби отображения в точке .

См. также

• Кодифференциал