Квантовая ёмкость — дополнительная электрическая ёмкость между затвором и двумерным электронным газом (ДЭГ), возникающая благодаря низкой по сравнению с металлами плотностью состояний в ДЭГ. Была впервые введёна Serge Luryi в1988 году^[1] для характеристики изменения химического потенциала в инверсионных слоях кремния и ДЭГ в GaAs.

ДЭГ и затвор представляют собой обычный конденсатор с включённой последовательно квантовой ёмкостью.

Теория

Если одна из обкладок конденсатора представляет собой металл с высокой плотностью состояний, а другая, расположенный на расстоянии d, — ДЭГ с много меньшей плотностью состояний, то изменение напряжения δV на этом конденсаторе приводит к изменению электрического поля между обкладками δE, а также к сдвигу химического потенциала δμ, что можно записать в виде:

Это выражение можно переписать с учётом вариации заряда δρ=eδn и воспользовавшись теоремой Гаусса δE=δρ/ε, где ε=ε_dε₀ произведение диэлектрической постоянной материала диэлектрика и диэлектрической постоянной вакуума, через ёмкость нормированную на площадь обкладок C/A=δρ/δV в упрощённом виде

Первое слагаемое это обратная ёмкость плоского конденсатора, а второе слагаемое связано с понятием квантовой ёмкости, которая пропорциональна плотности состояний

где e — элементарный заряд. Если переписать ёмкость в терминах длины экранирования

то выражение примет ещё более прозрачный вид

поясняющий влияние конечной длины проникновения электрического поля в материал с меньшей плотностью состояний, чем у металла. Фактически расстояние между обкладками увеличивается на длину экранирования.^[2]

Для ДЭГ плотность состояний равна (учтено только спиновое вырождение)

где — эффективная масса носителей тока. Так как плотность состояний ДЭГ не зависит от концентрации, то квантовая ёмкость тоже не зависит от концентрации, хотя при учёте электрон-электронных взаимодействий квантовая ёмкость зависит от энергии^[3][4].

Связь со сжимаемостью электронного газа

Для электронного газа, как и для обычного идеального газа можно ввести понятие сжимаемости K, обратная величина которой определяется как взятое с отрицательным знаком произведение объёма газа V и изменения давления P электронного газа при изменении объёма с сохранением числа частиц N:

Другое важное соотношение получается из теоремы Зейтца^[5]:

Отсюда следует, что измеряя квантовую ёмкость мы также получаем информацию о сжимаемости электронного газа.

Термодинамическая плотность состояний

Для того чтобы учесть распределение электронов по энергии (распределение Ферми — Дирака f(ε-μ)) из-за конечной температуры T, вводят так называемую термодинамическую плотность состояний определяемую как^[6][7]

где N(ε) — плотность состояний при нулевой температуре, k_B — постоянная Больцмана.

Графен

Для графена, где плотность состояний пропорциональна энергии, квантовая ёмкость зависит от концентрации^[8]:

где — редуцированная постоянная Планка, v_F — фермиевская скорость.

Примечания