Конъю́нкция (от лат. conjunctio союз, связь) — логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу "и". Синонимы: логи́ческое "И", логи́ческое умноже́ние, иногда просто "И".

Конъюнкция может быть бинарной операцией, то есть, иметь два операнда, тернарной операцией, т.е. иметь три операнда или n-арной операцией, т.е. иметь n операндов. Чаще всего встречаются следующие варианты:
в инфиксной записи:

,

по аналогии с умножением в алгебре знак логического умножения может быть пропущен: ,
в префиксной записи:

.

Булева алгебра

Определение.
Логическая функция MIN в двухзначной (двоичной) логике называется конъюнкция (логи́ческое "И", логи́ческое умноже́ние или просто "И").
Правило: результат равен наименьшему операнду.
Описание.
В булевой алгебре конъюнкция — это функция двух, трёх или более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества . Результат также принадлежит множеству . Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений может использоваться любая другая пара подходящих символов, например или или "ложь", "истина", но при таком обозначении необходимо дополнительно доопределять старшинство, например, , при цифровом обозначении старшинство естественно .
Правило: результат равен , если все операнды равны ; во всех остальных случаях результат равен .

Таблицы истинности:
для бинарной конъюнкции

для тернарной конъюнкции

Конъюнкция коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна по отношению к слабой дизъюнкции^[1].

Многозначная логика

Операция, называемая в двоичной логике конъюнкция, в многозначных логиках называется минимум: , где , а — значность логики. Возможны и другие варианты. Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов и .

Следует отметить, что название этой операции минимум имеет смысл в логиках с любой значностью, в том числе и в двоичной логике, а названия конъюнкция, логи́ческое "И", логическое умноже́ние и просто "И" имеют смысл только в двоичной логике, а при переходе к многозначным логикам теряют смысл.

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства конъюнкции определяются с помощью аксиом. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства конъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для конъюнкции:

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию конъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.

Схемотехника

Логический элемент, реализующий функцию конъюнкции, называется схемой совпадения^[1]. Мнемоническое правило для конъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:

• "1" тогда и только тогда, когда на всех входах есть «1»,
• "0" тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе есть «0»

Программирование

В компьютерных языках используется два основных варианта конъюнкции: логическое "И" и побитовое (поразрядное) "И". Например, в языках C/C++ логическое "И" обозначается символом "&&", а побитовое — символом "&". В терминологии, используемой в C#, операцию "&" принято называть логическим "И", а операцию "&&" - условным "И", поскольку значения операндов являются условиями для продолжения вычисления. В языках Pascal/Delphi оба вида конъюнкции обозначаются с использованием ключевого слова "and", а результат действия определяется типом операндов. Если операнды имеют логический тип (например, Boolean) — выполняется логическая операция, если целочисленный (например, Byte) — поразрядная.

Логическое "И" применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата или . Например:

if (a & b & c) 
{
    /* какие-то действия */
};

Сравнение в данном случае будет продолжаться до конца выражения, независимо от промежуточных результатов. Принцип работы условного "И" в аналогичной ситуации:

a = false; b = true; c = true;
if (a && b && c) 
{
    /* какие-то действия */ 
};

Проверка истинности выражения в данном случае остановится после проверки переменной a, т.к. дальнейшее сравнение не имеет смысла.

Результат будет равен , если оба операнда равны (для числовых типов не равны ). В любом другом случае результат будет равен .

При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно , то значение правого операнда не вычисляется (вместо может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приемом в некоторых случаях. Компилятор Delphi поддерживает специальную директиву, включающую

{$B-}

или выключающую

{$B+}

подобное поведение. Например, если левый операнд проверяет возможность вычисления правого операнда:

if (a != 0 && b / a > 3) 
{
    /* какие-то действия */
};

В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдет деления на ноль.

Побитовое "И" выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

Связь с естественным языком

Часто указывают на сходство между конъюнкцией и союзом «и» в естественном языке. Составное утверждение «A и B» считается истинным, когда истинны оба утверждения A и B, в противном случае составное утверждение ложно. Это в точности соответствует определению конъюнкции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как , а «ложь» как . При этом часто делают стандартную оговорку о неоднозначности естественного языка. Например, в зависимости от контекста союз «и» может нести дополнительный оттенок «и тогда», «и поэтому», «и потом». Отличие логики естественного языка от математической остроумно выразил американский математик Стивен Клини, заметив, что в естественном языке «Мэри вышла замуж и родила ребенка» — не то же самое, что «Мэри родила ребенка и вышла замуж».

Примечания

См. также

• Логическая операция
• Дизъюнкция
• Строгая дизъюнкция
• Импликация
• Отрицание
• Логический элемент