Многочлены Кравчука ( М. Ф. Кравчук, 1929) относятся к классическим ортогональным полиномам дискретной переменной на равномерной сетке, для которых соотношение ортогональности представляет собой не интеграл, а ряд или конечную сумму: .

Здесь  — весовая функция,  — квадратичная норма, . Для весовая функция с точностью до постоянного множителя сводится к биномиальному коэффициенту.

Рекуpрентное соотношение для этих многочленов имеет вид .

Путем несложных преобразований его можно привести к форме

,

где

Многочлены Кравчука могут быть выражены через гипергеометрическую функцию Гаусса:

В пределе при многочлены Кравчука переходят в многочлены Эрмита:

Первые четыре полинома для простейшего случая :

Литература

• Sur une généralisation des polynomes d’Hermite. M. Krawtchouk. C.R.Acad. Sci. 1929. T.189, No.17. P.620 — 622 — статья, в которой впервые введены многочлены Кравчука; по ссылке доступны французский оригинал и переводы на английский и русский языки.
• А. Ф. Никифоров, С. К. Суслов, В. Б. Уваров. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. Москва, «Наука», 1985.
• Krawtchouk Polynomials Home Page — сайт, посвященный многочленам Кравчука, содержит, в частности, обширную библиографию.

См. также

• Матрицы Кравчука
• Теорема Мак-Вильямс