Моде́ль Ло́тки — Вольте́рры (распространено неправильное название — модель Ло́тки — Вольтерра́^[1]) — модель взаимодействия двух видов типа «хищник — жертва», названная в честь её авторов (Лотка, 1925; Вольтерра 1926), которые предложили модельные уравнения независимо друг от друга.

Такие уравнения можно использовать для моделирования систем «хищник — жертва», «паразит — хозяин», конкуренции и других видов взаимодействия между двумя видами (Одум, 1986).

В математической форме предложенная система имеет следующий вид:

,

,

где  — количество жертв,  — количество хищников,  — время,  — коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами.

Решение системы уравнений

Постановка задачи

Рассматривается закрытый ареал, в котором обитают два вида — травоядные («жертвы») и хищники, предполагается, что животные не иммигрируют и не эмигрируют, и что еды для травоядных животных имеется с избытком. Тогда уравнение изменения количества жертв (без учета хищников) принимает вид:

,

где  — коэффициент рождаемости жертв,  — величина популяции жертв,  — скорость прироста популяции жертв.

Пока хищники не охотятся, они вымирают, следовательно, уравнение для численности хищников (без учёта жертв) принимает вид:

,

где  — коэффициент убыли хищников,  — величина популяции хищников,  — скорость прироста популяции хищников.

При встречах хищников и жертв (частота которых прямо пропорциональна величине ) происходит убийство жертв с коэффициентом , сытые хищники способны к воспроизводству с коэффициентом . С учётом этого, система уравнений модели такова:

.

Решение задачи

Нахождение стационарной позиции системы

Для стационарной позиции изменение популяции равно нулю. Следовательно:

,

,

из чего следует, что стационарная точка системы вокруг которой происходят колебания, определяется следующим образом:

,

.

Задание отклонения в системе

При внесении в систему колебаний и , из-за малой их величины их квадратами, кубами и последующими степенями () можно пренебречь. Таким образом, популяция и с малыми отклонениями описывается следующими выражениями:

,

.

Применяя их к уравнениям модели, следует:

Дифференцирование одного из этих уравнений и подстановка в другое даёт следующий результат:

,

.

Полученное выражение является уравнением гармонического осциллятора с периодом .

См. также

• Моделирование биологических систем
• Закон Клайбера

Примечания