Неравенство Швейцера

Неравенство Швейцера гласит следующее

Для любых вещественных чисел , принадлежащих отрезку , где , имеет место неравенство

Более того, если нечётно, то

Содержание

1 История
2 Равносильные неравенства
3 Следствия
4 Обобщения
5 Примечания
6 Источник

История

Это неравенство было опубликовано в 1914 г. в статье ^[1] венгерского математика П. Швейцера (венг. P. Schweitzer). Имеется английский перевод этой статьи в приложении к работе^[2]. Поскольку до появления английского перевода со статьёй Швейцера мало кто был знаком, неравенство (вторую его часть) обычно связывают^[3] с именем Лупаша (сербохорв. A. Lupaş), который доказал^[4] это неравенство почти на 60 лет позже Швейцера.

Равносильные неравенства

(В. Серпинский^[5]) Для любых положительных чисел верно

$\left(x_1+x_2+\ldots+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)\leqslant\left(\frac{A}{G}\right)^n n^2,$

где через A и G обозначены соответственно среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел .

Следствия

(О. Шиша^[6]) Для любых вещественных чисел , принадлежащих отрезку , где , верно неравенство:

$\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}-\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}\leq \frac{(M-m)^2}{M+m}.$

(Z.-C. Hao). Вещественные числа принадлежат отрезку , где . При условии и имеет место нервенство:

$\left(x_1+x_2+\ldots+x_n\right)^p\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)^q\leqslant\frac{n(p M+q M)}{m^qM^q}.$

Обобщения

Неравенство Канторовича (англ.)

Примечания

↑ Schweitzer P. (1914). «Egy egyenlőtlenség az arithmetikai középértékről». Math. és. Phys. Lapok. 23: 257—261. (венг.) («Неравенство, содержащее среднее арифметическое»)
10.1016/S0024-3795(97)00228-0.

↑ Mitrinović D. S., Pečarić J. E., Fink A. M. Classical and new inequalities in analysis. Mathemaics and its Applications. — Kluwer Academic Publishers Group, 1993. — Vol. 61.

↑ Lupaş A. (1972). «A remark on the Schweitzer and Kantorovich inequalities». Publ. Elek. Fak. Univ. Beograde, Ser. Mat. i Fiz. 381—409: 13-15.

↑ Sierpiński W. (1909). «Über eine auf das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel sich beziehende Ungleichung». Warsch. Sitzungsber. 2: 354—367. (нем.)

↑ Shisha O. Inequalities I. — 1967. — P. 293—308.

Источник

А. Храбров Неравенство Швейцера // Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике.

Stamp-i-k.ru

Печати, штампы

Рекомендуем