Функция Мёбиуса  — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

Определение

определена для всех натуральных чисел и принимает значения в зависимости от характера разложения числа на простые сомножители:

• если свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
• если свободно от квадратов и разложение на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
• если не свободно от квадратов.

По определению также полагают .

Свойства и приложения

Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел и выполняется равенство .

Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа , не равного единице, равна нулю

Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств состоящих из нечётного числа элементов равно количеству различных подмножеств состоящих из чётного числа элементов — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса отношением

Функция Мертенса в свою очередь тесно связана с задачей о нулях дзета-функции Римана, см. статью гипотеза Мертенса.

Обращение Мёбиуса

Первая формула обращения Мёбиуса

Для арифметических функций и ,

тогда и только тогда, когда

.

Вторая формула обращения Мёбиуса

Для вещественнозначных функций и , определенных при ,

тогда и только тогда, когда

.

Здесь сумма интерпретируется как .

См. также

• Свёртка Дирихле

Ссылки

• Виноградов И. М., Основы теории чисел, 9 изд., М., 1981.
• Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.