Парадокс Галилея — пример, иллюстрирующий свойства бесконечных множеств. В двух словах: натуральных чисел столько же, сколько квадратов натуральных чисел, то есть в множестве 1, 2, 3, 4 … столько же элементов, сколько в множестве 1, 4, 9, 16 …

В своей последней работе «Две Науки», Галилей привёл два противоречащих друг другу суждения о натуральных числах. Первое: некоторые числа являются точными квадратами (то есть квадратами других целых чисел); Другие же числа таким свойством не обладают. Таким образом точных квадратов должно быть меньше, чем всех чисел. Второе суждение: для каждого натурального числа найдётся его точный квадрат, и наоборот — для каждого точного квадрата найдётся целый квадратный корень, поэтому точных квадратов и натуральных чисел должно быть одинаковое количество.

Галилей сделал вывод, что судить об одинаковом количестве элементов можно только для конечных множеств. В XIX веке, Георг Кантор, используя свою теорию множеств показал, что можно ввести «количество элементов» для бесконечных множеств — так называемая мощность множества. При этом мощности множества натуральных чисел и множества точных квадратов совпали (оказалось верным второе рассуждение Галилея). Парадокс Галилея вступил в противоречие с аксиомой Евклида, утверждающей, что целое больше любой из своих собственных частей (под собственной частью понимается часть, не совпадающая со всем целым)^[1].

Примечания