Об утверждении, зависящем от точки пространства с мерой, говорят, что оно выполнено почти всюду, если множество точек, для которых оно не выполнено, пренебрежимо мало.

Определение

Пусть  — пространство с мерой. Обозначим символом множество точек из , для которых верно некоторое утверждение . Говорят, что утверждение выполнено почти всюду (п.в.), если

(Множество, на котором условие не выполнено, не всегда является измеримым.)

Если пространство с мерой является вероятностным пространством, то вместо слов «почти всюду» употребляют «почти наверное» или «почти наверняка» (см. статью «почти достоверное событие»).

Пример

• Функция Лебега, определённая на , где  — борелевская сигма-алгебра, а  — мера Лебега, равна нулю почти всюду, ибо .
• Канторова лестница имеет производную, равную нулю почти всюду.

См. также

• Почти все элементы бесконечного множества
• Сходимость почти всюду