Признак сходимости Д’Аламбера

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если , а если — расходится .

Замечание. Если , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

абсолютно сходится для всех комплексных , так как

$\lim \left|\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}} {{z^n}/{n!}}\right| = \lim \frac {|z|} {n+1} = 0,$

расходится при всех , так как

$\lim \left| \frac {(n+1)! \; z^{n+1}} {n! \; z^n} \right| = \lim |(n+1)z| = \infty.$

удовлетворяют этому условию, причём первый ряд расходится, а второй сходится.

Признаки сходимости рядов
Для знакоположительных рядов	Необходимое условие · Основной критерий · Признак сравнения · Признак Куммера · Признак Гаусса · Радикальный признак Коши · Интегральный признак · Признак Д’Аламбера · Степенной признак · Логарифмический признак · Признак Раабе · Признак Бертрана · Признак Жамэ · Признак Ермакова · Признак Лобачевского · Признак Реткеса (англ.) · Телескопический признак
Для знакочередующихся рядов	Признак Лейбница
Для рядов вида	Признак Абеля · Признак Дедекинда · Признак Дюбуа-Реймона · Признак Дирихле
Для функциональных рядов	Признак Вейерштрасса
Для рядов Фурье	Признак Дини · Признак Валле-Пуссена · Признак Жордана · Признак Юнга · Признак Салема · Признак Лебега · Признак Лебега–Гергена · Признак Марцинкевича