Принцип Мопертюи - принцип, согласно которому консервативнаяголономная система в классической механике изменяет своё состояние так, чтобы интеграл от корня квадратного её кинетической энергии был минимален на траектории движения[1].
Рассмотрим консервативную голономную систему с энергией и потенциальной энергией . Тогда изменение её состояния происходит таким образом, чтобы .
Доказательство
Рассмотрим вариацию . Воспользуемся равенствами и . Получим . Интегрируя первое слагаемое по частям, получаем: . Первый член обращается в нуль вследствие вариаций на концах отрезка интегрирования. Вследствие этого получаем выражение для вариации действия Подынтегральное выражение должно быть равно нулю вследствие произвольности вариации. Получаем . С учетом равенств , получим правильные уравнения движения . Этим доказывается справедливость принципа .[2]