В коммутативном кольце идеал называется простым, если факторкольцо по нему является областью целостности. Равносильная формулировка: если и из следует или .

Понятие простого идеала является частным случаем понятия первичного идеала.

Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала — локализация кольца по простому идеалу .

Множество всех простых идеалов кольца образует спектр кольца . В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.

Свойства

• Максимальный идеал кольца (т.е. собственный идеал, не содержащийся ни в каком собственном идеале) является простым.

• Идеал прост, если элементы дополнения к нему образуют мультипликативную систему. Подмножество кольца с единицей называется мультипликативной системой, если оно содержит единицу, не содержит нуля и замкнуто по умножению.
• Теорема отделимости: Пусть в коммутативном кольце с единицей задан идеал , не пересекающийся с мультипликативной системой . Тогда существует простой идеал , содержащий и не пересекающийся с системой .

• Теорема о радикале: Пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал , совпадает с радикалом идеала . Радикал идеала  — это множество . Оно тоже является идеалом кольца .

Примеры

• В кольце целых чисел каждый простой идеал имеет вид , где — простое число.

• В кольце многочленов от одной переменной каждый простой идеал имеет вид , где — неприводимый над многочлен.
• В кольце многочленов множество является простым идеалом.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7