11-07-2023
Решение треугольников (лат. solutio triangulorum) — исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики[1]. Треугольник может располагаться на плоскости или на сфере. Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях, например, в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.
Содержание |
У треугольника общего вида имеется 6 основных характеристик: 3 линейные (длины сторон ) и 3 угловые (), см. рисунок. В классической задаче плоской тригонометрии заданы 3 из этих 6 характеристик, и нужно определить 3 остальные. Очевидно, если известны только 2 или 3 угла, однозначного решения не получится, так как любой треугольник, подобный данному, тоже будет решением, поэтому будем считать, что хотя бы одна из известных величин — линейная.
Алгоритм решения задачи зависит от того, какие именно характеристики треугольника считаются известными. Далее будем символически обозначать заданные величины С (сторона) и У (угол). Поскольку сочетание УУУ исключено из рассмотрения, остаются 5 различных вариантов[2]:
Стандартным методом решения задачи является использование нескольких фундаментальных соотношений, выполняющихся для всех плоских треугольников:
Из других, иногда полезных на практике универсальных соотношений, следует упомянуть теорему котангенсов и формулы Мольвейде.
Пусть заданы длины всех трёх сторон . Чтобы найти углы , воспользуемся теоремой косинусов[3]:
Третий угол сразу находится из правила, что сумма всех трёх углов должна быть равна 180°.
В некоторых источниках предлагается второй угол найти по теореме синусов, но, как указано в вышеприведенном замечании 1, при этом существует опасность спутать тупой угол с острым.
Ещё один метод вычисления углов по известным сторонам: использование теоремы котангенсов.
Пусть, для определённости, известны длины сторон и угол между ними. Для определения длины стороны вновь воспользуемся теоремой косинусов[4]:
Мы фактически свели задачу к предыдущему случаю. Далее воспользуемся теоремой косинусов для нахождения второго угла:
Третий угол .
Этот случай самый сложный и неоднозначный. Пусть, например, известны две стороны и угол . Уравнение для угла найдём из теоремы синусов[5]:
Для краткости обозначим (правая часть уравнения). При решении уравнения возможны 4 случая[6].
Третий угол находится как обычно: . Третью сторону можно найти по теореме синусов:
Пусть задана сторона и углы . Вначале находим третий угол . Далее обе неизвестные стороны находятся по теореме синусов[7]:
Этот случай решается так же, как предыдущий: находим третий угол и применяем теорему синусов.
Сферический треугольник общего вида полностью определяется тремя из шести своих характеристик (3 стороны и 3 угла). Отметим, что стороны сферического треугольника принято измерять не линейными единицами, а величиной опирающихся на них центральных углов.
Решение треугольников в неевклидовой сферической геометрии имеет ряд отличий от плоского случая. Например, сумма трёх углов зависит от треугольника; кроме того, на сфере не существует неравных подобных треугольников, и поэтому задача построения треугольника по трём углам имеет единственное решение. Но базовые соотношения, используемые для решения задачи, аналогичны плоскому случаю: теоремы косинусов (сферическая геометрия) и теорема синусов (сферическая геометрия).
Из других соотношений могут оказаться полезными формулы аналогии Непера и формула половины стороны. Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера.
Если заданы стороны (напомним, в угловых единицах), то углы треугольника определяются из теоремы косинусов:
Пусть заданы стороны и угол между ними. Сторону легко найти по теореме косинусов:
Углы можно найти так же, как в предыдущем варианте, можно также использовать формулы аналогии Непера:
Пусть заданы стороны и угол . Чтобы решение существовало, необходимо выполнение условия:
Угол получается из теоремы синусов:
Здесь, аналогично плоскому случаю, при получаем два решения: и .
Остальные величины можно найти из формул аналогии Непера:
В этом варианте задана сторона и углы . Найдём угол по теореме косинусов:
Две неизвестные стороны получаем из формул аналогии Непера:
Пусть заданы сторона и углы . Сторону найдём по теореме синусов:
Если угол для стороны острый и , существует второе решение:
Остальные величины определим из формул аналогии Непера:
Если заданы три угла, стороны находятся по теореме косинусов:
Во многих практически важных задачах вместо сторон треугольника задаются другие его характеристики — например, длина медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанного или описанного круга и т. д. Аналогично вместо углов при вершинах треугольника в задаче могут фигурировать иные углы. Алгоритмы решения подобных задач чаще всего комбинируется из рассмотренных выше теорем тригонометрии.
Примеры:
Чтобы определить расстояние от берега до удалённого корабля, нужно отметить на берегу две точки, расстояние между которыми известно. Измерим углы и между линией, соединяющей эти точки, и направлением на корабль. Из формул варианта «сторона и прилежащие к ней углы» несложно найти длину высоты треугольника:
Этот метод используется в каботажном судоходстве. Углы при этом оцениваются наблюдениями с корабля известных ориентиров на земле.
Другой пример: требуется измерить высоту горы или высокого здания. Известны углы наблюдения вершины из двух точек, расположенных на расстоянии . Из формул того же варианта, что и выше, получаем:
Надо вычислить расстояние между двумя точками на земном шаре:
Рассмотрим сферический треугольник , где — северный полюс. Для него известны следующие величины:
Это случай «две стороны и угол между ними». Из приведенных там формул получаем:
Здесь — радиус Земли.
| Сферическая тригонометрия | |
|---|---|
| Основные понятия | Сферический треугольник · Полярный треугольник · Эксцесс · Двуугольник |
| Формулы и соотношения | Теоремы косинусов · Теорема синусов · Формула пяти элементов · Формула половины стороны · Мнемоническое правило Непера · Сферическая теорема Пифагора · Формулы Деламбра · Формулы аналогии Непера · Теорема Лежандра · Решение треугольников |
| Связанные темы | Сферическая система координат · Сферическая геометрия · Трёхгранный угол |
Решение треугольников.
