Список интегралов элементарных функций

Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе, но в отличие от операции дифференцирования она выводит из множества элементарных функций. Из теоремы Лиувилля следует, например, что интеграл от не является элементарной функцией. Таблицы известных первообразных оказываются часто очень полезны, хотя сейчас и теряют свою актуальность с появлением систем компьютерной алгебры. На этой странице представлен список наиболее часто встречающихся первообразных. Более полный список можно найти в списке интегралов.

использована как произвольная константа интегрирования, которую можно определить, если известно значение интеграла в какой-нибудь точке. У каждой функции имеется бесконечное число первообразных.

Интегралы элементарных функций

Рациональные функции

Основная статья: Список интегралов от рациональных функций

Доказательство

Продифференцируем правую часть:

Логарифмы

Основная статья: Список интегралов от логарифмических функций

Экспоненциальные функции

Основная статья: Список интегралов от экспоненциальных функций

Иррациональные функции

Основная статья: Список интегралов от иррациональных функций

Тригонометрические функции

Основные статьи: список интегралов от тригонометрических функций, список интегралов от обратных тригонометрических функций

Доказательство

Гиперболические функции

Основная статья: список интегралов от гиперболических функций

также

Доказательства

Доказательство формулы выполним проверкой:

$\left(\operatorname{arctg}(\operatorname{sh}\,x\right) + C)' = \frac{\operatorname{ch}\,x}{\operatorname{sh}^2\,x + 1} = \frac{\operatorname{ch}\,x}{\operatorname{ch}^2\,x - 1 + 1} = \frac{1}{\operatorname{ch}\,x} = \operatorname{sech}\,x$ .

Доказательство формулы выполним проверкой:

$\left(2\operatorname{arctg}(e^x) + C\right)' = \frac{2 e^x}{e^{2x} + 1} = \frac{2}{e^x + e^{-x}} = \frac{1}{\operatorname{ch}\,x} = \operatorname{sech}\,x$ .

Доказательство формулы выполним проверкой:

$\left(2\, \operatorname{arctg}\,\left(\operatorname{th}\, \frac{x}{2}\right) + C\right)' = \frac{\operatorname{sech}^2\frac{x}{2}}{\operatorname{th}^2\frac{x}{2} + 1} = \frac{1}{\operatorname{sh}^2\frac{x}{2}+\operatorname{ch}^2\frac{x}{2}} = \frac{1}{\operatorname{ch}\,x} = \operatorname{sech}\,x$ .

См. также

Таблица производных

Литература

Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 4-е издание. — М.: Наука, 1963. — ISBN 0-12-294757-6
Двайт Г. Б. Таблицы интегралов. — 5-е издание. — М.: Наука, 1977.

Ссылки

Интегралы на EqWorld
Онлайн калькулятор интегралов

Stamp-i-k.ru

Печати, штампы

Рекомендуем

Список интегралов элементарных функций

Содержание

Интегралы элементарных функций

Рациональные функции

Логарифмы

Экспоненциальные функции

Иррациональные функции

Тригонометрические функции

Гиперболические функции

См. также

Литература

Ссылки