Теорема Мори

Теорема Мори (англ. Morrie's law) — это случайное название следующего тригонометрического тождества:

Это частный случай более общего тождества

при n = 3 и α = 20°. «Теорема Мори» получила своё название благодаря Ричарду Фейнману, который использовал это тождество именно под этим именем. Фейнман употреблял это название потому, что в детстве он узнал указанное тождество от мальчика по имени Мори Якобс и впоследствии запомнил теорему на всю жизнь именно под этим именем.^[1]

Подобное соотношение для синуса также имеет место:

Более того, разделив второе тождество на первое, получим тождество для тангенса:

Доказательство

Используем известную формулу для синуса двойного угла

Выразив отсюда , получим

Тогда имеем

$\begin{align} \cos(2 \alpha) & = \frac{\sin(4 \alpha)}{2 \sin(2 \alpha)} \\[6pt] \cos(4 \alpha) & = \frac{\sin(8 \alpha)}{2 \sin(4 \alpha)} \\ & {}\,\,\, \vdots \\ \cos(2^{n-1} \alpha) & = \frac{\sin(2^{n} \alpha)}{2 \sin(2^{n-1} \alpha)}. \end{align}$

Перемножая соответственно левые части этих равенств друг на друга, и правые части - друг на друга, получаем:

$\cos(\alpha) \cos(2 \alpha) \cos(4 \alpha) \cdots \cos(2^{n-1} \alpha)= \frac{\sin(2 \alpha)}{2 \sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(4 \alpha)}{2 \sin(2 \alpha)} \cdot \frac{\sin(8 \alpha)}{2 \sin(4 \alpha)} \cdots \frac{\sin(2^{n} \alpha)}{2 \sin(2^{n-1} \alpha)}.$

После сокращения дробей останется синус из последнего числителя и синус из первого знаменателя, а также 2 в степени n в знаменателе:

Это тождество представляет собой общую форму записи теоремы Мори.

Примечания

↑ W.A. Beyer, J.D. Louck, and D. Zeilberger, A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life, Math. Mag. 69, 43-44, 1996.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Morrie's Law (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Stamp-i-k.ru

Печати, штампы

Рекомендуем

Теорема Мори

Доказательство

Примечания

Ссылки