Локально тривиальное расслоение — расслоение, которое локально выглядит как прямое произведение.

Определение

Пусть , и суть топологические пространства. Сюрьективное отображение называется локально тривиальным расслоением пространства над базой со слоем   если для всякой точки базы существует окрестность , над которой расслоение тривиально. Последнее означает, что существует гомеоморфизм , такой что коммутативна диаграмма

Здесь  — проекция произведения пространств на первый сомножитель.

Пространство также называется тотальным пространством расслоения или расслоенным пространством.

Связанные определения

• Сечение расслоения — это отображение , такое что . Вообще говоря, не каждое расслоение имеет сечение. Например, пусть  — многообразие, а подрасслоение векторов единичной длины в касательном расслоении . Тогда сечение расслоения  — это векторное поле без нулей на . Теорема о причёсывании ежа показывает, что на сфере такого поля не существует.
• Множество называется слоем расслоения над точкой . Каждый слой гомеоморфен пространству , поэтому пространство называется общим (или модельным) слоем расслоения ,
• Гомеоморфизм , отождествляющий ограничение расслоения над окрестностью точки с некоторым тривиальным расслоением, называется локальной тривиализацией расслоения над окрестностью точки .
• Если  — покрытие базы открытыми множествами, и  — соответствующие им отображения тривиализации, тогда семейство называется тривиализующим атласом расслоения .
• Предположим локально тривиальное расслоение снабжено покрытием базы с выделенной тривиализацией и сужение любого отображения сличения на слой принадлежит некоторой подгруппе группы всех автоморфизмов . Тогда называется локально тривиальным расслоением со структурной группой .

Примеры

• Тривиальное расслоение, то есть проекция на первый сомножитель.
• Любое накрытие является локально тривиальным расслоением с дискретным слоем.
• Касательное, кокасательное и тензорные расслоения над произвольным многообразием локально тривиальны.
• Если на пространстве задано непрерывное свободное действие группы , то естественное отображение является локально тривиальным расслоением. Расслоения такого типа называются главными.
• Лист Мёбиуса — пространство не тривиального расслоения над окружностью.
• Расслоение Хопфа — это нетривиальное расслоение . Оно не имеет сечений, так как оно является главным расслоением со структурной группой , а любое главное расслоение, допускающее сечение, тривиально.
• Сконструировать расслоение можно, задав произвольно его базу (пространство ), общий слой (пространство ) и отображения перехода (1-коцикл Чеха ) для какого-нибудь открытого покрытия пространства . Тогда пространство E формально можно получить как множество троек вида с правилом отождествления:

, если

Свойства

• Для локально тривиальных расслоений верна теорема о накрывающей гомотопии. Пусть заданы  — локально тривиальное расслоение, отображения и , так что , и гомотопия отображения (). Тогда существует гомотопия отображения , такая что диаграмма коммутативна

• Пусть имеется локально тривиальное расслоение со слоем (иногда записываемое формально как ). Тогда последовательность гомотопических групп точна:

• Отображения перехода удовлетворяют условию 1-коцикла Чеха:

Если , то .

• Два расслоения над одной и той же базой и с одним и тем же общим слоем изоморфны тогда и только тогда, когда 1-коциклы Чеха, соответствующие им, когомологичны. (Отметим, что в случае, когда группа некоммутативна, одномерные когомологии не образуют группу, а образуют множество, на котором действует (слева) группа 0-коцепей Чеха :

  ,

где  — 0-коцепь Чеха, действующая на 1-коцикл Чеха . 1-коциклы называются когомологичными, если они лежат в одной орбите этого действия.)

• Для любого локально тривиального расслоения и непрерывного отображения индуцированное расслоение является локально тривиальным.

Вариации и обобщения

• Локально тривиальные расслоения являются частным случаем
  • расслоений Гуревича и
  • расслоений Серра.

• Если пространства  — гладкие (дифференцируемые) многообразия, отображение  — гладкое и допускающее тривиализующий атлас с гладкими отображениями тривиализации, то само расслоение называется гладким.
• Расслоение называется голоморфным, если пространства — комплексные многообразия, отображение  — голоморфное и существует тривиализующий атлас с голоморфными отображениями тривиализации.
• Главное расслоение.

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7